Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{2}}^{2 π} x \sin (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} - \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} - \cos (x) d x$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} - - \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + 1 \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

Étape 3.2

Multipliez $\int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$ par $1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

Étape 4

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez $x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$ et $\sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Évaluez $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ sur $2 π$ et sur $\frac{π}{2}$ .

$(2 π (- \cos (2 π)) + \sin (2 π)) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 5.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 5.2.2.2

Associez $\frac{π}{2}$ et $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 5.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 5.3.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cdot 0}{2} + 1)$

Étape 5.3.3

Multipliez $π$ par $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{0}{2} + 1)$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 (0)}{2} + 1)$

Étape 5.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)$

Étape 5.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)$

Étape 5.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{0}{1} + 1)$

Étape 5.3.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- 0 + 1)$

Étape 5.3.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (0 + 1)$

Étape 5.3.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - 1 \cdot 1$

Étape 5.3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - 1$

Étape 5.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 2 π \cos (0) + \sin (2 π) - 1$

Étape 5.4.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 2 π \cdot 1 + \sin (2 π) - 1$

Étape 5.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 π + \sin (2 π) - 1$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 2 π + \sin (0) - 1$

Étape 6.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 2 π + 0 - 1$

Étape 6.2

Additionnez $- 2 π$ et $0$ .

$- 2 π - 1$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 2 π - 1$

Forme décimale :

$- 7.28318530 \dots$