Calcul infinitésimal Exemples

$\int e^{- 3 x} \sec (e^{- 3 x}) \tan (e^{- 3 x}) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = - 3 x$ . Alors $d u_{1} = - 3 d x$ , donc $- \frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = - 3 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 1.1.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) \frac{1}{- 3} d u_{1}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int e^{u_{1}} \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{1}{3}) d u_{1}$

Étape 2.2

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{e^{u_{1}}}{3}) d u_{1}$

Étape 2.3

Associez $\sec (e^{u_{1}})$ et $\frac{e^{u_{1}}}{3}$ .

$\int \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{\sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3}) d u_{1}$

Étape 2.4

Associez $\tan (e^{u_{1}})$ et $\frac{\sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3}$ .

$\int - \frac{\tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{\tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{3} \int \tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 5

Laissez $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Alors $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , donc $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{3} \int \tan (u_{2}) \sec (u_{2}) d u_{2}$

Étape 6

Comme la dérivée de $\sec (u_{2})$ est $\tan (u_{2}) \sec (u_{2})$ , l’intégrale de $\tan (u_{2}) \sec (u_{2})$ est $\sec (u_{2})$ .

$- \frac{1}{3} (\sec (u_{2}) + C)$

Étape 7

Simplifiez

$- \frac{1}{3} \sec (u_{2}) + C$

Étape 8

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 8.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{3} \sec (e^{u_{1}}) + C$

Étape 8.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 3 x$ .

$- \frac{1}{3} \sec (e^{- 3 x}) + C$