Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sqrt[3]{3 - 4 x^{2}} (- 8 x) d x$

Étape 1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 8$ en dehors de l’intégrale.

$- 8 \int \sqrt[3]{3 - 4 x^{2}} (x) d x$

Étape 2

Laissez $u = 3 - 4 x^{2}$ . Alors $d u = - 8 x d x$ , donc $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 3 - 4 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $3 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$0 - 8 x$

Étape 2.1.4

Soustrayez $8 x$ de $0$ .

$- 8 x$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- 8 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 8} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 8 \int \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Étape 3.2

Associez $\sqrt[3]{u}$ et $\frac{1}{8}$ .

$- 8 \int - \frac{\sqrt[3]{u}}{8} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- 8 (- \int \frac{\sqrt[3]{u}}{8} d u)$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$8 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{8} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{1}{8} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $8$ .

$\frac{8}{8} \int \sqrt[3]{u} d u$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 7.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{8} \int \sqrt[3]{u} d u$

Étape 7.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \sqrt[3]{u} d u$

Étape 7.1.3

Multipliez $\int \sqrt[3]{u} d u$ par $1$ .

$\int \sqrt[3]{u} d u$

Étape 7.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 - 4 x^{2}$ .

$\frac{3}{4} {(3 - 4 x^{2})}^{\frac{4}{3}} + C$