Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sqrt{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Étape 1

Complétez le carré.

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Étape 1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1

Déplacez $5$ .

$4 x - x^{2} + 5$

Étape 1.1.2

Remettez dans l’ordre $4 x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 4 x + 5$

Étape 1.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 5$

Étape 1.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.4.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Étape 1.4.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$d = - 2$

Étape 1.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.1.1

Annulez le facteur commun à $4^{2}$ et $4$ .

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Étape 1.5.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.2.1.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 5 - (- 1 \cdot 4)$

Étape 1.5.2.1.2

Multipliez $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Étape 1.5.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 5 - - 4$

Étape 1.5.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$e = 5 + 4$

Étape 1.5.2.2

Additionnez $5$ et $4$ .

$e = 9$

Étape 1.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x - 2)}^{2} + 9$ .

$\int \sqrt{- {(x - 2)}^{2} + 9} d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = x - 2$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 9} d u_{1}$

Étape 3

Laissez $u_{1} = 3 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d u_{1} = 3 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ est positif.

$\int \sqrt{- {(3 \sin (t))}^{2} + 9} (3 \cos (t)) d t$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Simplifiez $\sqrt{- {(3 \sin (t))}^{2} + 9}$ .

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{- (3^{2} \sin^{2} (t)) + 9} (3 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int \sqrt{- (9 \sin^{2} (t)) + 9} (3 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.1.3

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\int \sqrt{- 9 \sin^{2} (t) + 9} (3 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.2

Remettez dans l’ordre $- 9 \sin^{2} (t)$ et $9$ .

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.3

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.4

Factorisez $9$ à partir de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.5

Factorisez $9$ à partir de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.7

Réécrivez $9 \cos^{2} (t)$ comme ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Étape 4.2.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Étape 4.2.3

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Étape 4.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Étape 4.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

Étape 5

Comme $9$ est constant par rapport à $t$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

Étape 6

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t)$ en $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $9$ .

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Étape 11

Laissez $u_{2} = 2 t$ . Alors $d u_{2} = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 11.1

Laissez $u_{2} = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Étape 11.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 11.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 11.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 11.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 11.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Étape 12

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 13

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Étape 14

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Étape 15

Simplifiez

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Étape 16

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 16.1

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{u_{1}}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{u_{1}}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Étape 16.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 t$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{u_{1}}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Étape 16.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 2$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Étape 16.4

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{u_{1}}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{u_{1}}{3}))) + C$

Étape 16.5

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 2$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))) + C$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}) + C$

Étape 17.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2} + C$

Étape 17.3

Associez $\frac{9}{2}$ et $\arcsin (\frac{x - 2}{3})$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2} + C$

Étape 17.4

Multipliez $\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}$ .

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Étape 17.4.1

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

Étape 17.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{4} + C$

Étape 18

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} (x - 2)) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} (x - 2))) + C$