Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x}{{(7 x^{2} + 3)}^{5}} d x d x$

Étape 1

Laissez $u = 7 x^{2} + 3$ . Alors $d u = 14 x d x$ , donc $\frac{1}{14} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 7 x^{2} + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $7 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$14 x + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $14 x$ et $0$ .

$14 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{5}} \cdot \frac{1}{14} d u d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{5}}$ par $\frac{1}{14}$ .

$\int \frac{1}{u^{5} \cdot 14} d u d x$

Étape 2.2

Déplacez $14$ à gauche de $u^{5}$ .

$\int \frac{1}{14 u^{5}} d u d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{14}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{14}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u d x$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Simplifiez

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Étape 4.1.1

Associez $d$ et $\frac{1}{14}$ .

$\frac{d}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u x$

Étape 4.1.2

Associez $x$ et $\frac{d}{14}$ .

$\frac{x d}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u$

Étape 4.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.2.1

Retirez $u^{5}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{x d}{14} \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Étape 4.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{5})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x d}{14} \int u^{5 \cdot - 1} d u$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{x d}{14} \int u^{- 5} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 5}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

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Étape 6.1.1

Associez $u^{- 4}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{u^{- 4}}{4} + C)$

Étape 6.1.2

Placez $u^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$

Étape 6.2

Réécrivez $\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$ comme $\frac{1}{14} x d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$ .

$\frac{1}{14} x d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Associez $\frac{1}{14}$ et $x$ .

$\frac{x}{14} d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

Étape 6.3.2

Associez $\frac{x}{14}$ et $d$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

Étape 6.3.3

Multipliez $\frac{x d}{14}$ par $\frac{1}{4 u^{4}}$ .

$- \frac{x d}{14 (4 u^{4})} + C$

Étape 6.3.4

Multipliez $4$ par $14$ .

$- \frac{x d}{56 u^{4}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x^{2} + 3$ .

$- \frac{x d}{56 {(7 x^{2} + 3)}^{4}} + C$