Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x + 1}{{(x^{2} + 2 x - 3)}^{2}} d x$

Étape 1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 1.1.1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 1}{{((x - 1) (x + 3))}^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $(x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1}$

Étape 1.1.4

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.1.5

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{D}{x + 3}$

Étape 1.1.6

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est ${(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.7

Annulez le facteur commun de ${(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 1.1.7.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 1) {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.8

Annulez le facteur commun de ${(x + 3)}^{2}$ .

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Étape 1.1.8.1

Annulez le facteur commun.

Étape 1.1.8.2

Divisez $x + 1$ par $1$ .

$x + 1 = \frac{(A) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.9.1

Annulez le facteur commun de ${(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 1.1.9.1.1

Annulez le facteur commun.

$x + 1 = \frac{A {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.1.2

Divisez $(A) {(x + 3)}^{2}$ par $1$ .

$x + 1 = (A) {(x + 3)}^{2} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.2

Réécrivez ${(x + 3)}^{2}$ comme $(x + 3) (x + 3)$ .

$x + 1 = A ((x + 3) (x + 3)) + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.3

Développez $(x + 3) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.9.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = A (x (x + 3) + 3 (x + 3)) + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = A (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = A (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.9.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.9.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x + 1 = A (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.4.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x + 1 = A (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.4.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$x + 1 = A (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.4.2

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$x + 1 = A (x^{2} + 6 x + 9) + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.5

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = A x^{2} + A (6 x) + A \cdot 9 + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.6

Simplifiez

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Étape 1.1.9.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + A \cdot 9 + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.6.2

Déplacez $9$ à gauche de $A$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 \cdot A + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.7

Annulez le facteur commun à ${(x - 1)}^{2}$ et $x - 1$ .

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Étape 1.1.9.7.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $(B) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + \frac{(x - 1) (B (x - 1) {(x + 3)}^{2})}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.9.7.2.1

Multipliez par $1$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + \frac{(x - 1) (B (x - 1) {(x + 3)}^{2})}{(x - 1) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + \frac{(x - 1) (B (x - 1) {(x + 3)}^{2})}{(x - 1) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + \frac{B (x - 1) {(x + 3)}^{2}}{1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.7.2.4

Divisez $B (x - 1) {(x + 3)}^{2}$ par $1$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B (x - 1) {(x + 3)}^{2} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.8

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + (B x + B \cdot - 1) {(x + 3)}^{2} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.9

Déplacez $- 1$ à gauche de $B$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + (B x - 1 \cdot B) {(x + 3)}^{2} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.10

Réécrivez $- 1 B$ comme $- B$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + (B x - B) {(x + 3)}^{2} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.11

Réécrivez ${(x + 3)}^{2}$ comme $(x + 3) (x + 3)$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + (B x - B) ((x + 3) (x + 3)) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.12

Développez $(x + 3) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.9.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + (B x - B) (x (x + 3) + 3 (x + 3)) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + (B x - B) (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + (B x - B) (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.9.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.9.13.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + (B x - B) (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.13.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + (B x - B) (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.13.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + (B x - B) (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.13.2

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + (B x - B) (x^{2} + 6 x + 9) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.14

Développez $(B x - B) (x^{2} + 6 x + 9)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x \cdot x^{2} + B x (6 x) + B x \cdot 9 - B x^{2} - B (6 x) - B \cdot 9 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.9.15.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.9.15.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B (x^{2} x) + B x (6 x) + B x \cdot 9 - B x^{2} - B (6 x) - B \cdot 9 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.15.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.1.9.15.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 1.1.9.15.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{2 + 1} + B x (6 x) + B x \cdot 9 - B x^{2} - B (6 x) - B \cdot 9 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.15.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + B x (6 x) + B x \cdot 9 - B x^{2} - B (6 x) - B \cdot 9 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.15.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 6 B x \cdot x + B x \cdot 9 - B x^{2} - B (6 x) - B \cdot 9 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.15.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.9.15.3.1

Déplacez $x$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 6 B (x \cdot x) + B x \cdot 9 - B x^{2} - B (6 x) - B \cdot 9 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.15.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 6 B x^{2} + B x \cdot 9 - B x^{2} - B (6 x) - B \cdot 9 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.15.4

Déplacez $9$ à gauche de $B x$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 6 B x^{2} + 9 \cdot (B x) - B x^{2} - B (6 x) - B \cdot 9 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.15.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 6 B x^{2} + 9 B x - B x^{2} - 1 \cdot (6 B x) - B \cdot 9 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.15.6

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 6 B x^{2} + 9 B x - B x^{2} - 6 B x - B \cdot 9 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.15.7

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 6 B x^{2} + 9 B x - B x^{2} - 6 B x - 9 B + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.16

Soustrayez $B x^{2}$ de $6 B x^{2}$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 9 B x - 6 B x - 9 B + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.17

Soustrayez $6 B x$ de $9 B x$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.18

Annulez le facteur commun de ${(x + 3)}^{2}$ .

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Étape 1.1.9.18.1

Annulez le facteur commun.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.18.2

Divisez $(C) {(x - 1)}^{2}$ par $1$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + (C) {(x - 1)}^{2} + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.19

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C ((x - 1) (x - 1)) + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.20

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.9.20.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.20.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.20.3

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.21

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.9.21.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.9.21.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.21.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.21.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.21.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.21.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C (x^{2} - x - x + 1) + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.21.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C (x^{2} - 2 x + 1) + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.22

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} + C (- 2 x) + C \cdot 1 + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.23

Simplifiez

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Étape 1.1.9.23.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C \cdot 1 + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.23.2

Multipliez $C$ par $1$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}}{x + 3}$

Étape 1.1.9.24

Annulez le facteur commun à ${(x + 3)}^{2}$ et $x + 3$ .

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Étape 1.1.9.24.1

Factorisez $x + 3$ à partir de $(D) {(x - 1)}^{2} {(x + 3)}^{2}$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + \frac{(x + 3) ((D) {(x - 1)}^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Étape 1.1.9.24.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.9.24.2.1

Multipliez par $1$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + \frac{(x + 3) ((D) {(x - 1)}^{2} (x + 3))}{(x + 3) \cdot 1}$

Étape 1.1.9.24.2.2

Annulez le facteur commun.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + \frac{(x + 3) ((D) {(x - 1)}^{2} (x + 3))}{(x + 3) \cdot 1}$

Étape 1.1.9.24.2.3

Réécrivez l’expression.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + \frac{(D) {(x - 1)}^{2} (x + 3)}{1}$

Étape 1.1.9.24.2.4

Divisez $(D) {(x - 1)}^{2} (x + 3)$ par $1$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + (D) {(x - 1)}^{2} (x + 3)$

Étape 1.1.9.25

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D ((x - 1) (x - 1)) (x + 3)$

Étape 1.1.9.26

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.9.26.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D (x (x - 1) - 1 (x - 1)) (x + 3)$

Étape 1.1.9.26.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (x + 3)$

Étape 1.1.9.26.3

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x + 3)$

Étape 1.1.9.27

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.9.27.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.9.27.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x + 3)$

Étape 1.1.9.27.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x + 3)$

Étape 1.1.9.27.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x + 3)$

Étape 1.1.9.27.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (x + 3)$

Étape 1.1.9.27.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D (x^{2} - x - x + 1) (x + 3)$

Étape 1.1.9.27.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D (x^{2} - 2 x + 1) (x + 3)$

Étape 1.1.9.28

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + (D x^{2} + D (- 2 x) + D \cdot 1) (x + 3)$

Étape 1.1.9.29

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.9.29.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + (D x^{2} - 2 D x + D \cdot 1) (x + 3)$

Étape 1.1.9.29.2

Multipliez $D$ par $1$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + (D x^{2} - 2 D x + D) (x + 3)$

Étape 1.1.9.30

Développez $(D x^{2} - 2 D x + D) (x + 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{2} x + D x^{2} \cdot 3 - 2 D x \cdot x - 2 D x \cdot 3 + D x + D \cdot 3$

Étape 1.1.9.31

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.9.31.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.9.31.1.1

Déplacez $x$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D (x \cdot x^{2}) + D x^{2} \cdot 3 - 2 D x \cdot x - 2 D x \cdot 3 + D x + D \cdot 3$

Étape 1.1.9.31.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.9.31.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D (x \cdot x^{2}) + D x^{2} \cdot 3 - 2 D x \cdot x - 2 D x \cdot 3 + D x + D \cdot 3$

Étape 1.1.9.31.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{1 + 2} + D x^{2} \cdot 3 - 2 D x \cdot x - 2 D x \cdot 3 + D x + D \cdot 3$

Étape 1.1.9.31.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} + D x^{2} \cdot 3 - 2 D x \cdot x - 2 D x \cdot 3 + D x + D \cdot 3$

Étape 1.1.9.31.2

Déplacez $3$ à gauche de $D x^{2}$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} + 3 \cdot (D x^{2}) - 2 D x \cdot x - 2 D x \cdot 3 + D x + D \cdot 3$

Étape 1.1.9.31.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.9.31.3.1

Déplacez $x$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} + 3 D x^{2} - 2 D (x \cdot x) - 2 D x \cdot 3 + D x + D \cdot 3$

Étape 1.1.9.31.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} + 3 D x^{2} - 2 D x^{2} - 2 D x \cdot 3 + D x + D \cdot 3$

Étape 1.1.9.31.4

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} + 3 D x^{2} - 2 D x^{2} - 6 D x + D x + D \cdot 3$

Étape 1.1.9.31.5

Déplacez $3$ à gauche de $D$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} + 3 D x^{2} - 2 D x^{2} - 6 D x + D x + 3 D$

Étape 1.1.9.32

Soustrayez $2 D x^{2}$ de $3 D x^{2}$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} + 1 D x^{2} - 6 D x + D x + 3 D$

Étape 1.1.9.33

Multipliez $D$ par $1$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} + D x^{2} - 6 D x + D x + 3 D$

Étape 1.1.9.34

Additionnez $- 6 D x$ et $D x$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 A x + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} + D x^{2} - 5 D x + 3 D$

Étape 1.1.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.10.1

Déplacez $A$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 x A + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} + D x^{2} - 5 D x + 3 D$

Étape 1.1.10.2

Remettez dans l’ordre $B$ et $x^{3}$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 x A + 9 A + B x^{3} + 5 B x^{2} + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} + D x^{2} - 5 D x + 3 D$

Étape 1.1.10.3

Déplacez $B$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 x A + 9 A + B x^{3} + 5 x^{2} B + 3 B x - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} + D x^{2} - 5 D x + 3 D$

Étape 1.1.10.4

Déplacez $B$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 x A + 9 A + B x^{3} + 5 x^{2} B + 3 x B - 9 B + C x^{2} - 2 C x + C + D x^{3} + D x^{2} - 5 D x + 3 D$

Étape 1.1.10.5

Déplacez $C$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 x A + 9 A + B x^{3} + 5 x^{2} B + 3 x B - 9 B + C x^{2} - 2 C x + D x^{3} + D x^{2} - 5 D x + C + 3 D$

Étape 1.1.10.6

Déplacez $- 9 B$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 x A + 9 A + B x^{3} + 5 x^{2} B + 3 x B + C x^{2} - 2 C x + D x^{3} + D x^{2} - 5 D x - 9 B + C + 3 D$

Étape 1.1.10.7

Déplacez $9 A$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 x A + B x^{3} + 5 x^{2} B + 3 x B + C x^{2} - 2 C x + D x^{3} + D x^{2} - 5 D x + 9 A - 9 B + C + 3 D$

Étape 1.1.10.8

Déplacez $- 2 C x$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 x A + B x^{3} + 5 x^{2} B + 3 x B + C x^{2} + D x^{3} + D x^{2} - 2 C x - 5 D x + 9 A - 9 B + C + 3 D$

Étape 1.1.10.9

Déplacez $3 x B$ .

$x + 1 = A x^{2} + 6 x A + B x^{3} + 5 x^{2} B + C x^{2} + D x^{3} + D x^{2} + 3 x B - 2 C x - 5 D x + 9 A - 9 B + C + 3 D$

Étape 1.1.10.10

Déplacez $6 x A$ .

$x + 1 = A x^{2} + B x^{3} + 5 x^{2} B + C x^{2} + D x^{3} + D x^{2} + 6 x A + 3 x B - 2 C x - 5 D x + 9 A - 9 B + C + 3 D$

Étape 1.1.10.11

Déplacez $C x^{2}$ .

$x + 1 = A x^{2} + B x^{3} + 5 x^{2} B + D x^{3} + C x^{2} + D x^{2} + 6 x A + 3 x B - 2 C x - 5 D x + 9 A - 9 B + C + 3 D$

Étape 1.1.10.12

Déplacez $5 x^{2} B$ .

$x + 1 = A x^{2} + B x^{3} + D x^{3} + 5 x^{2} B + C x^{2} + D x^{2} + 6 x A + 3 x B - 2 C x - 5 D x + 9 A - 9 B + C + 3 D$

Étape 1.1.10.13

Déplacez $A x^{2}$ .

$x + 1 = B x^{3} + D x^{3} + A x^{2} + 5 x^{2} B + C x^{2} + D x^{2} + 6 x A + 3 x B - 2 C x - 5 D x + 9 A - 9 B + C + 3 D$

Étape 1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{3}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = B + D$

Étape 1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + 5 B + C + D$

Étape 1.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = 6 A + 3 B - 2 C - 5 D$

Étape 1.2.4

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = 9 A - 9 B + C + 3 D$

Étape 1.2.5

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = B + D$

$0 = A + 5 B + C + D$

$1 = 6 A + 3 B - 2 C - 5 D$

$1 = 9 A - 9 B + C + 3 D$

$0 = B + D$

$0 = A + 5 B + C + D$

$1 = 6 A + 3 B - 2 C - 5 D$

$1 = 9 A - 9 B + C + 3 D$

Étape 1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 1.3.1

Résolvez $B$ dans $0 = B + D$ .

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $B + D = 0$ .

$B + D = 0$

$0 = A + 5 B + C + D$

$1 = 6 A + 3 B - 2 C - 5 D$

$1 = 9 A - 9 B + C + 3 D$

Étape 1.3.1.2

Soustrayez $D$ des deux côtés de l’équation.

$B = - D$

$0 = A + 5 B + C + D$

$1 = 6 A + 3 B - 2 C - 5 D$

$1 = 9 A - 9 B + C + 3 D$

$B = - D$

$0 = A + 5 B + C + D$

$1 = 6 A + 3 B - 2 C - 5 D$

$1 = 9 A - 9 B + C + 3 D$

Étape 1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $- D$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $0 = A + 5 B + C + D$ par $- D$ .

$0 = A + 5 (- D) + C + D$

$B = - D$

$1 = 6 A + 3 B - 2 C - 5 D$

$1 = 9 A - 9 B + C + 3 D$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.1

Simplifiez $A + 5 (- D) + C + D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$0 = A - 5 D + C + D$

$B = - D$

$1 = 6 A + 3 B - 2 C - 5 D$

$1 = 9 A - 9 B + C + 3 D$

Étape 1.3.2.2.1.2

Additionnez $- 5 D$ et $D$ .

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

$1 = 6 A + 3 B - 2 C - 5 D$

$1 = 9 A - 9 B + C + 3 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

$1 = 6 A + 3 B - 2 C - 5 D$

$1 = 9 A - 9 B + C + 3 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

$1 = 6 A + 3 B - 2 C - 5 D$

$1 = 9 A - 9 B + C + 3 D$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $1 = 6 A + 3 B - 2 C - 5 D$ par $- D$ .

$1 = 6 A + 3 (- D) - 2 C - 5 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

$1 = 9 A - 9 B + C + 3 D$

Étape 1.3.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.4.1

Simplifiez $6 A + 3 (- D) - 2 C - 5 D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$1 = 6 A - 3 D - 2 C - 5 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

$1 = 9 A - 9 B + C + 3 D$

Étape 1.3.2.4.1.2

Soustrayez $5 D$ de $- 3 D$ .

$1 = 6 A - 2 C - 8 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

$1 = 9 A - 9 B + C + 3 D$

$1 = 6 A - 2 C - 8 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

$1 = 9 A - 9 B + C + 3 D$

$1 = 6 A - 2 C - 8 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

$1 = 9 A - 9 B + C + 3 D$

Étape 1.3.2.5

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $1 = 9 A - 9 B + C + 3 D$ par $- D$ .

$1 = 9 A - 9 (- D) + C + 3 D$

$1 = 6 A - 2 C - 8 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

Étape 1.3.2.6

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.6.1

Simplifiez $9 A - 9 (- D) + C + 3 D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.6.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$1 = 9 A + 9 D + C + 3 D$

$1 = 6 A - 2 C - 8 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

Étape 1.3.2.6.1.2

Additionnez $9 D$ et $3 D$ .

$1 = 9 A + C + 12 D$

$1 = 6 A - 2 C - 8 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

$1 = 9 A + C + 12 D$

$1 = 6 A - 2 C - 8 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

$1 = 9 A + C + 12 D$

$1 = 6 A - 2 C - 8 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

$1 = 9 A + C + 12 D$

$1 = 6 A - 2 C - 8 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

Étape 1.3.3

Résolvez $C$ dans $1 = 9 A + C + 12 D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $9 A + C + 12 D = 1$ .

$9 A + C + 12 D = 1$

$1 = 6 A - 2 C - 8 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

Étape 1.3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.2.1

Soustrayez $9 A$ des deux côtés de l’équation.

$C + 12 D = 1 - 9 A$

$1 = 6 A - 2 C - 8 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

Étape 1.3.3.2.2

Soustrayez $12 D$ des deux côtés de l’équation.

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$1 = 6 A - 2 C - 8 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$1 = 6 A - 2 C - 8 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$1 = 6 A - 2 C - 8 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

Étape 1.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $1 - 9 A - 12 D$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $1 = 6 A - 2 C - 8 D$ par $1 - 9 A - 12 D$ .

$1 = 6 A - 2 (1 - 9 A - 12 D) - 8 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

Étape 1.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.2.1

Simplifiez $6 A - 2 (1 - 9 A - 12 D) - 8 D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = 6 A - 2 \cdot 1 - 2 (- 9 A) - 2 (- 12 D) - 8 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

Étape 1.3.4.2.1.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.2.1.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$1 = 6 A - 2 - 2 (- 9 A) - 2 (- 12 D) - 8 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

Étape 1.3.4.2.1.1.2.2

Multipliez $- 9$ par $- 2$ .

$1 = 6 A - 2 + 18 A - 2 (- 12 D) - 8 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

Étape 1.3.4.2.1.1.2.3

Multipliez $- 12$ par $- 2$ .

$1 = 6 A - 2 + 18 A + 24 D - 8 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

$1 = 6 A - 2 + 18 A + 24 D - 8 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

$1 = 6 A - 2 + 18 A + 24 D - 8 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

Étape 1.3.4.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.2.1.2.1

Additionnez $6 A$ et $18 A$ .

$1 = 24 A - 2 + 24 D - 8 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

Étape 1.3.4.2.1.2.2

Soustrayez $8 D$ de $24 D$ .

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$0 = A + C - 4 D$

$B = - D$

Étape 1.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $0 = A + C - 4 D$ par $1 - 9 A - 12 D$ .

$0 = A + 1 - 9 A - 12 D - 4 D$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

Étape 1.3.4.4

Simplifiez $0 = A + 1 - 9 A - 12 D - 4 D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.4.1.1

Supprimez les parenthèses.

$0 = A + 1 - 9 A - 12 D - 4 D$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

$0 = A + 1 - 9 A - 12 D - 4 D$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

Étape 1.3.4.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.4.2.1

Simplifiez $A + 1 - 9 A - 12 D - 4 D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.4.2.1.1

Soustrayez $9 A$ de $A$ .

$0 = - 8 A + 1 - 12 D - 4 D$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

Étape 1.3.4.4.2.1.2

Soustrayez $4 D$ de $- 12 D$ .

$0 = - 8 A + 1 - 16 D$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

$0 = - 8 A + 1 - 16 D$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

$0 = - 8 A + 1 - 16 D$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

$0 = - 8 A + 1 - 16 D$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

$0 = - 8 A + 1 - 16 D$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

Étape 1.3.5

Résolvez $A$ dans $0 = - 8 A + 1 - 16 D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 8 A + 1 - 16 D = 0$ .

$- 8 A + 1 - 16 D = 0$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

Étape 1.3.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 8 A - 16 D = - 1$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

Étape 1.3.5.2.2

Ajoutez $16 D$ aux deux côtés de l’équation.

$- 8 A = - 1 + 16 D$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

$- 8 A = - 1 + 16 D$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

Étape 1.3.5.3

Divisez chaque terme dans $- 8 A = - 1 + 16 D$ par $- 8$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 8 A = - 1 + 16 D$ par $- 8$ .

$\frac{- 8 A}{- 8} = \frac{- 1}{- 8} + \frac{16 D}{- 8}$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

Étape 1.3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 8 A}{- 8} = \frac{- 1}{- 8} + \frac{16 D}{- 8}$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

Étape 1.3.5.3.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{- 1}{- 8} + \frac{16 D}{- 8}$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

$A = \frac{- 1}{- 8} + \frac{16 D}{- 8}$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

$A = \frac{- 1}{- 8} + \frac{16 D}{- 8}$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

Étape 1.3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.3.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$A = \frac{1}{8} + \frac{16 D}{- 8}$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

Étape 1.3.5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $- 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.3.3.1.2.1

Factorisez $8$ à partir de $16 D$ .

$A = \frac{1}{8} + \frac{8 (2 D)}{- 8}$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

Étape 1.3.5.3.3.1.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 D}{- 1}$ .

$A = \frac{1}{8} - 1 \cdot (2 D)$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

$A = \frac{1}{8} - 1 \cdot (2 D)$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

Étape 1.3.5.3.3.1.3

Réécrivez $- 1 \cdot (2 D)$ comme $- (2 D)$ .

$A = \frac{1}{8} - (2 D)$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

Étape 1.3.5.3.3.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$1 = 24 A - 2 + 16 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

Étape 1.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $\frac{1}{8} - 2 D$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $1 = 24 A - 2 + 16 D$ par $\frac{1}{8} - 2 D$ .

$1 = 24 (\frac{1}{8} - 2 D) - 2 + 16 D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

Étape 1.3.6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.2.1

Simplifiez $24 (\frac{1}{8} - 2 D) - 2 + 16 D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = 24 (\frac{1}{8}) + 24 (- 2 D) - 2 + 16 D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

Étape 1.3.6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.2.1.1.2.1

Factorisez $8$ à partir de $24$ .

$1 = 8 (3) (\frac{1}{8}) + 24 (- 2 D) - 2 + 16 D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

Étape 1.3.6.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 = 8 \cdot (3 (\frac{1}{8})) + 24 (- 2 D) - 2 + 16 D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

Étape 1.3.6.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 = 3 + 24 (- 2 D) - 2 + 16 D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

$1 = 3 + 24 (- 2 D) - 2 + 16 D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

Étape 1.3.6.2.1.1.3

Multipliez $- 2$ par $24$ .

$1 = 3 - 48 D - 2 + 16 D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

$1 = 3 - 48 D - 2 + 16 D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

Étape 1.3.6.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.2.1.2.1

Soustrayez $2$ de $3$ .

$1 = - 48 D + 1 + 16 D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

Étape 1.3.6.2.1.2.2

Additionnez $- 48 D$ et $16 D$ .

$1 = - 32 D + 1$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

$1 = - 32 D + 1$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

$1 = - 32 D + 1$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

$1 = - 32 D + 1$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$C = 1 - 9 A - 12 D$

$B = - D$

Étape 1.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $C = 1 - 9 A - 12 D$ par $\frac{1}{8} - 2 D$ .

$C = 1 - 9 (\frac{1}{8} - 2 D) - 12 D$

$1 = - 32 D + 1$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

Étape 1.3.6.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.4.1

Simplifiez $1 - 9 (\frac{1}{8} - 2 D) - 12 D$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.4.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$C = 1 - 9 (\frac{1}{8}) - 9 (- 2 D) - 12 D$

$1 = - 32 D + 1$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

Étape 1.3.6.4.1.1.2

Associez $- 9$ et $\frac{1}{8}$ .

$C = 1 + \frac{- 9}{8} - 9 (- 2 D) - 12 D$

$1 = - 32 D + 1$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

Étape 1.3.6.4.1.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 9$ .

$C = 1 + \frac{- 9}{8} + 18 D - 12 D$

$1 = - 32 D + 1$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

Étape 1.3.6.4.1.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$C = 1 - \frac{9}{8} + 18 D - 12 D$

$1 = - 32 D + 1$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

$C = 1 - \frac{9}{8} + 18 D - 12 D$

$1 = - 32 D + 1$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

Étape 1.3.6.4.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.4.1.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$C = \frac{8}{8} - \frac{9}{8} + 18 D - 12 D$

$1 = - 32 D + 1$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

Étape 1.3.6.4.1.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.4.1.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$C = \frac{8 - 9}{8} + 18 D - 12 D$

$1 = - 32 D + 1$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

Étape 1.3.6.4.1.2.2.2

Soustrayez $9$ de $8$ .

$C = \frac{- 1}{8} + 18 D - 12 D$

$1 = - 32 D + 1$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

Étape 1.3.6.4.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$C = - \frac{1}{8} + 18 D - 12 D$

$1 = - 32 D + 1$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

$C = - \frac{1}{8} + 18 D - 12 D$

$1 = - 32 D + 1$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

Étape 1.3.6.4.1.2.3

Soustrayez $12 D$ de $18 D$ .

$C = - \frac{1}{8} + 6 D$

$1 = - 32 D + 1$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

$C = - \frac{1}{8} + 6 D$

$1 = - 32 D + 1$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

$C = - \frac{1}{8} + 6 D$

$1 = - 32 D + 1$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

$C = - \frac{1}{8} + 6 D$

$1 = - 32 D + 1$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

$C = - \frac{1}{8} + 6 D$

$1 = - 32 D + 1$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

Étape 1.3.7

Résolvez $D$ dans $1 = - 32 D + 1$ .

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Étape 1.3.7.1

Réécrivez l’équation comme $- 32 D + 1 = 1$ .

$- 32 D + 1 = 1$

$C = - \frac{1}{8} + 6 D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

Étape 1.3.7.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $D$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.7.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 32 D = 1 - 1$

$C = - \frac{1}{8} + 6 D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

Étape 1.3.7.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$- 32 D = 0$

$C = - \frac{1}{8} + 6 D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

$- 32 D = 0$

$C = - \frac{1}{8} + 6 D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

Étape 1.3.7.3

Divisez chaque terme dans $- 32 D = 0$ par $- 32$ et simplifiez.

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Étape 1.3.7.3.1

Divisez chaque terme dans $- 32 D = 0$ par $- 32$ .

$\frac{- 32 D}{- 32} = \frac{0}{- 32}$

$C = - \frac{1}{8} + 6 D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

Étape 1.3.7.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.7.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 32$ .

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Étape 1.3.7.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 32 D}{- 32} = \frac{0}{- 32}$

$C = - \frac{1}{8} + 6 D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

Étape 1.3.7.3.2.1.2

Divisez $D$ par $1$ .

$D = \frac{0}{- 32}$

$C = - \frac{1}{8} + 6 D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

$D = \frac{0}{- 32}$

$C = - \frac{1}{8} + 6 D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

$D = \frac{0}{- 32}$

$C = - \frac{1}{8} + 6 D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

Étape 1.3.7.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.7.3.3.1

Divisez $0$ par $- 32$ .

$D = 0$

$C = - \frac{1}{8} + 6 D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

$D = 0$

$C = - \frac{1}{8} + 6 D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

$D = 0$

$C = - \frac{1}{8} + 6 D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

$D = 0$

$C = - \frac{1}{8} + 6 D$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

Étape 1.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $D$ par $0$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.8.1

Remplacez toutes les occurrences de $D$ dans $C = - \frac{1}{8} + 6 D$ par $0$ .

$C = - \frac{1}{8} + 6 (0)$

$D = 0$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

Étape 1.3.8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.8.2.1

Simplifiez $- \frac{1}{8} + 6 (0)$ .

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Étape 1.3.8.2.1.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$C = - \frac{1}{8} + 0$

$D = 0$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

Étape 1.3.8.2.1.2

Additionnez $- \frac{1}{8}$ et $0$ .

$C = - \frac{1}{8}$

$D = 0$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

$C = - \frac{1}{8}$

$D = 0$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

$C = - \frac{1}{8}$

$D = 0$

$A = \frac{1}{8} - 2 D$

$B = - D$

Étape 1.3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $D$ dans $A = \frac{1}{8} - 2 D$ par $0$ .

$A = \frac{1}{8} - 2 \cdot 0$

$C = - \frac{1}{8}$

$D = 0$

$B = - D$

Étape 1.3.8.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.8.4.1

Simplifiez $\frac{1}{8} - 2 \cdot 0$ .

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Étape 1.3.8.4.1.1

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$A = \frac{1}{8} + 0$

$C = - \frac{1}{8}$

$D = 0$

$B = - D$

Étape 1.3.8.4.1.2

Additionnez $\frac{1}{8}$ et $0$ .

$A = \frac{1}{8}$

$C = - \frac{1}{8}$

$D = 0$

$B = - D$

$A = \frac{1}{8}$

$C = - \frac{1}{8}$

$D = 0$

$B = - D$

$A = \frac{1}{8}$

$C = - \frac{1}{8}$

$D = 0$

$B = - D$

Étape 1.3.8.5

Remplacez toutes les occurrences de $D$ dans $B = - D$ par $0$ .

$B = - (0)$

$A = \frac{1}{8}$

$C = - \frac{1}{8}$

$D = 0$

Étape 1.3.8.6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.8.6.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$B = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$C = - \frac{1}{8}$

$D = 0$

$B = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$C = - \frac{1}{8}$

$D = 0$

$B = 0$

$A = \frac{1}{8}$

$C = - \frac{1}{8}$

$D = 0$

Étape 1.3.9

Indiquez toutes les solutions.

$B = 0, A = \frac{1}{8}, C = - \frac{1}{8}, D = 0$

Étape 1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{D}{x + 3}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ , $C$ et $D$ .

$\frac{\frac{1}{8}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{0}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{8}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{0}{x + 3}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{0}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{8}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{0}{x + 3}$

Étape 1.5.2

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{8 {(x - 1)}^{2}} + \frac{0}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{8}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{0}{x + 3}$

Étape 1.5.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{8 {(x - 1)}^{2}} + \frac{0}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{8}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{0}{x + 3}$

Étape 1.5.4

Divisez $0$ par $x - 1$ .

$\frac{1}{8 {(x - 1)}^{2}} + 0 + \frac{- \frac{1}{8}}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{0}{x + 3}$

Étape 1.5.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{8 {(x - 1)}^{2}} + 0 - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{0}{x + 3}$

Étape 1.5.6

Multipliez $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ par $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8 {(x - 1)}^{2}} + 0 - \frac{1}{{(x + 3)}^{2} \cdot 8} + \frac{0}{x + 3}$

Étape 1.5.7

Déplacez $8$ à gauche de ${(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{1}{8 {(x - 1)}^{2}} + 0 - \frac{1}{8 {(x + 3)}^{2}} + \frac{0}{x + 3}$

Étape 1.5.8

Divisez $0$ par $x + 3$ .

$\frac{1}{8 {(x - 1)}^{2}} + 0 - \frac{1}{8 {(x + 3)}^{2}} + 0$

Étape 1.5.9

Supprimez le zéro de l’expression.

$\int \frac{1}{8 {(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{8 {(x + 3)}^{2}} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{8 {(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{8 {(x + 3)}^{2}} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} \int \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{8 {(x + 3)}^{2}} d x$

Étape 4

Laissez $u_{1} = x - 1$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{1} = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\frac{1}{8} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int - \frac{1}{8 {(x + 3)}^{2}} d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez ${u_{1}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{8} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int - \frac{1}{8 {(x + 3)}^{2}} d x$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int - \frac{1}{8 {(x + 3)}^{2}} d x$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{8} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int - \frac{1}{8 {(x + 3)}^{2}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{1}}^{- 2}$ par rapport à $u_{1}$ est $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{8} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int - \frac{1}{8 {(x + 3)}^{2}} d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} (- {u_{1}}^{- 1} + C) - \int \frac{1}{8 {(x + 3)}^{2}} d x$

Étape 8

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} (- {u_{1}}^{- 1} + C) - (\frac{1}{8} \int \frac{1}{{(x + 3)}^{2}} d x)$

Étape 9

Laissez $u_{2} = x + 3$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 9.1

Laissez $u_{2} = x + 3$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Étape 9.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 9.1.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 9.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{8} (- {u_{1}}^{- 1} + C) - \frac{1}{8} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 10

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 10.1

Retirez ${u_{2}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{8} (- {u_{1}}^{- 1} + C) - \frac{1}{8} \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Étape 10.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 10.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} (- {u_{1}}^{- 1} + C) - \frac{1}{8} \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Étape 10.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{8} (- {u_{1}}^{- 1} + C) - \frac{1}{8} \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- 2}$ par rapport à $u_{2}$ est $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{8} (- {u_{1}}^{- 1} + C) - \frac{1}{8} (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez

$\frac{1}{8} (- \frac{1}{u_{1}}) - \frac{1}{8} (- {u_{2}}^{- 1}) + C$

Étape 12.2

Simplifiez

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Étape 12.2.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{1}{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{8 u_{1}} - \frac{1}{8} (- {u_{2}}^{- 1}) + C$

Étape 12.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{8 u_{1}} + 1 (\frac{1}{8}) {u_{2}}^{- 1} + C$

Étape 12.2.3

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $1$ .

$- \frac{1}{8 u_{1}} + \frac{1}{8} {u_{2}}^{- 1} + C$

Étape 12.2.4

Associez $\frac{1}{8}$ et ${u_{2}}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{8 u_{1}} + \frac{{u_{2}}^{- 1}}{8} + C$

Étape 12.2.5

Placez ${u_{2}}^{- 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{8 u_{1}} + \frac{1}{8 u_{2}} + C$

Étape 13

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 13.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 1$ .

$- \frac{1}{8 (x - 1)} + \frac{1}{8 u_{2}} + C$

Étape 13.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 3$ .

$- \frac{1}{8 (x - 1)} + \frac{1}{8 (x + 3)} + C$