Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) \sec^{4} (x) d x$

Étape 1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1

Réécrivez $4$ comme $2$ plus $2$

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Étape 1.2

Réécrivez ${\sec (x)}^{2 + 2}$ comme $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Étape 2

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sec^{2} (x)$ comme $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

Étape 3

Laissez $u = \tan (x)$ . Alors $d u = \sec^{2} (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = \tan (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Étape 3.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{3})$

Étape 3.5

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} (1 + u^{2}) d u$

Étape 4

Multipliez $u^{5} (1 + u^{2})$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} \cdot 1 + u^{5} u^{2} d u$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $u^{5}$ par $1$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

Étape 5.2

Multipliez $u^{5}$ par $u^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5 + 2} d u$

Étape 5.2.2

Additionnez $5$ et $2$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{7} d u$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} d u + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{5}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{7}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

Étape 9

Associez $\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}}$ et $\frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}$ sur $\sqrt{3}$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{6} {\sqrt{3}}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8}) - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{6}$ comme $3^{3}$ .

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Étape 10.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} {(3^{\frac{1}{2}})}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{6}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.1.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 10.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{3}{1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.1.4.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{3} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot 27 + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.3

Associez $\frac{1}{6}$ et $27$ .

$\frac{27}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.4

Annulez le facteur commun à $27$ et $6$ .

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Étape 10.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{3 (9)}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{8}$ comme $3^{4}$ .

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Étape 10.2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {(3^{\frac{1}{2}})}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $8$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{8}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.5.4

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 10.2.5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.5.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{4}{1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.5.4.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{4} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.6

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 81 - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.7

Associez $\frac{1}{8}$ et $81$ .

$\frac{9}{2} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.8

Pour écrire $\frac{9}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.2.9.1

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.9.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{9 \cdot 4}{8} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 \cdot 4 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.11.1

Multipliez $9$ par $4$ .

$\frac{36 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.11.2

Additionnez $36$ et $81$ .

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.12

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.13

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Étape 10.2.14

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0)$

Étape 10.2.15

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + 0)$

Étape 10.2.16

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{117}{8} - 0$

Étape 10.2.17

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{117}{8} + 0$

Étape 10.2.18

Additionnez $\frac{117}{8}$ et $0$ .

$\frac{117}{8}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{117}{8}$

Forme décimale :

$14.625$

Forme de nombre mixte :

$14 \frac{5}{8}$