Calcul infinitésimal Exemples

$\int 6 t^{2} e^{- t^{3}} d t$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int t^{2} e^{- t^{3}} d t$

Étape 2

Laissez $u = - t^{3}$ . Alors $d u = - 3 t^{2} d t$ , donc $- \frac{1}{3} d u = t^{2} d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = - t^{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $- t^{3}$ .

$\frac{d}{d t} [- t^{3}]$

Étape 2.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t^{3}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$- \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- (3 t^{2})$

Étape 2.1.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 t^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$6 \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Étape 3.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$6 \int - \frac{e^{u}}{3} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$6 (- \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- 6 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 6$ .

$\frac{- 6}{3} \int e^{u} d u$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $3$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3} \int e^{u} d u$

Étape 7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} \int e^{u} d u$

Étape 7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Étape 7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{1} \int e^{u} d u$

Étape 7.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$- 2 \int e^{u} d u$

Étape 8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- 2 (e^{u} + C)$

Étape 9

Simplifiez

$- 2 e^{u} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- t^{3}$ .

$- 2 e^{- t^{3}} + C$