Calcul infinitésimal Exemples

$\int 4 \sin^{2} (x) d x$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \sin^{2} (x) d x$

Étape 2

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (x)$ en $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$4 \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{4}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Étape 4.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \int 1 - \cos (2 x) d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$2 (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Étape 8

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 8.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 9

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Étape 11

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$2 (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Étape 12

Simplifiez

$2 (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$2 (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Associez $\sin (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 14.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 2 (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Étape 14.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sin (2 x)}{2}$ dans le numérateur.

$2 x + 2 \frac{- \sin (2 x)}{2} + C$

Étape 14.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 x + 2 \frac{- \sin (2 x)}{2} + C$

Étape 14.3.3

Réécrivez l’expression.

$2 x - \sin (2 x) + C$