Calcul infinitésimal Exemples

$p \int_{0}^{8} {(\sqrt[3]{x})}^{2} d x$

Étape 1

Réécrivez ${(\sqrt[3]{x})}^{2}$ comme $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$p \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$p \int_{0}^{8} x^{\frac{2}{3}} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$p \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{0}^{8}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez $\frac{3}{5}$ et $x^{\frac{5}{3}}$ .

$p \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{0}^{8}$

Étape 4.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Évaluez $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ sur $8$ et sur $0$ .

$p ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$p (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 4.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$p (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{5}{3})}}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$p (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{5}{3})}}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 4.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$p (\frac{3 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 4.2.2.4

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$p (\frac{3 \cdot 32}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $3$ par $32$ .

$p (\frac{96}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 4.2.2.6

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$p (\frac{96}{5} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 4.2.2.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$p (\frac{96}{5} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Étape 4.2.2.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$p (\frac{96}{5} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Étape 4.2.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$p (\frac{96}{5} - \frac{3 \cdot 0^{5}}{5})$

Étape 4.2.2.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$p (\frac{96}{5} - \frac{3 \cdot 0}{5})$

Étape 4.2.2.10

Multipliez $3$ par $0$ .

$p (\frac{96}{5} - \frac{0}{5})$

Étape 4.2.2.11

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 4.2.2.11.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$p (\frac{96}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Étape 4.2.2.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.11.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$p (\frac{96}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Étape 4.2.2.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$p (\frac{96}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Étape 4.2.2.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$p (\frac{96}{5} - \frac{0}{1})$

Étape 4.2.2.11.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$p (\frac{96}{5} - 0)$

Étape 4.2.2.12

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$p (\frac{96}{5} + 0)$

Étape 4.2.2.13

Additionnez $\frac{96}{5}$ et $0$ .

$p \frac{96}{5}$

Étape 4.2.2.14

Associez $p$ et $\frac{96}{5}$ .

$\frac{p \cdot 96}{5}$

Étape 4.2.2.15

Déplacez $96$ à gauche de $p$ .

$\frac{96 p}{5}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{96}{5} p$

Étape 5

Associez $\frac{96}{5}$ et $p$ .

$\frac{96 p}{5}$

Étape 6