Calcul infinitésimal Exemples

$\int \ln (1 + x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (1 + x)$ et $d v = 1$ .

$\ln (1 + x) x - \int x \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2

Associez $x$ et $\frac{1}{x + 1}$ .

$\ln (1 + x) x - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 3

Divisez $x$ par $x + 1$ .

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Étape 3.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Étape 3.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Étape 3.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Étape 3.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Étape 3.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Étape 3.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\ln (1 + x) x - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (1 + x) x - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (1 + x) x - (x + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (1 + x) x - (x + C - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 7

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 7.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 7.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (1 + x) x - (x + C - \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (1 + x) x - (x + C - (\ln (| u |) + C))$

Étape 9

Simplifiez

$\ln (1 + x) x - x + \ln (| u |) + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$\ln (1 + x) x - x + \ln (| x + 1 |) + C$