Calcul infinitésimal Exemples

$\int \arccos (2 x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \arccos (2 x)$ et $d v = 1$ .

$\arccos (2 x) x - \int x (- \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}) d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $x$ et $\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ .

$\arccos (2 x) x - \int - \frac{x \cdot 2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\arccos (2 x) x - \int - \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\arccos (2 x) x - - \int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Étape 4

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\arccos (2 x) x + 1 \int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Étape 4.2

Multipliez $\int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$ par $1$ .

$\arccos (2 x) x + \int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\arccos (2 x) x + 2 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Étape 6

Laissez $u = 1 - 4 x^{2}$ . Alors $d u = - 8 x d x$ , donc $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = 1 - 4 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $1 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x^{2}]$

Étape 6.1.2

Différenciez.

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Étape 6.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 6.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Étape 6.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 6.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 6.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Étape 6.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$0 - 8 x$

Étape 6.1.4

Soustrayez $8 x$ de $0$ .

$- 8 x$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\arccos (2 x) x + 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Étape 7

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\arccos (2 x) x + 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{8}$ .

$\arccos (2 x) x + 2 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

Étape 7.3

Déplacez $8$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\arccos (2 x) x + 2 \int - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\arccos (2 x) x + 2 (- \int \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u)$

Étape 9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\arccos (2 x) x - 2 \int \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Étape 10

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\arccos (2 x) x - 2 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

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Étape 11.1.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $- 2$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{- 2}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 11.1.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $8$ .

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Étape 11.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{2 (- 1)}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 11.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 11.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\arccos (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 11.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\arccos (2 x) x + \frac{- 1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 11.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 11.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 11.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 11.2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 11.2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 11.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 11.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 11.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 13

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Étape 13.1

Réécrivez $\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $\arccos (2 x) x + \frac{- u^{\frac{1}{2}}}{2} + C$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{- u^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Étape 13.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\arccos (2 x) x - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 4 x^{2}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{{(1 - 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{2} {(1 - 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$