Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)} d x$

Étape 1

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ à $\sec^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} e^{\tan (x)} \sec^{2} (x) d x$

Étape 2

Laissez $u = \tan (x)$ . Alors $d u = \sec^{2} (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = \tan (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Étape 2.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Étape 2.5

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{1} e^{u} d u$

Étape 3

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{u}]_{0}^{1}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $e^{u}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(e^{1}) - e^{0}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Simplifiez

$e - e^{0}$

Étape 4.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$e - 1 \cdot 1$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e - 1$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e - 1$

Forme décimale :

$1.71828182 \dots$