Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \sin (x) d x$

Étape 2

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$\sin (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \sin (x) d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\sin (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (x) d x$

Étape 4

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$\sin (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Évaluez $\sin (x)$ sur $\frac{π}{4}$ et sur $0$ .

$(\sin (\frac{π}{4})) - \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Étape 5.1.2

Évaluez $- \cos (x)$ sur $\frac{π}{4}$ et sur $0$ .

$\sin (\frac{π}{4}) - \sin (0) - (- \cos (\frac{π}{4}) + \cos (0))$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (0) - (- \cos (\frac{π}{4}) + \cos (0))$

Étape 5.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - 0 - (- \cos (\frac{π}{4}) + \cos (0))$

Étape 5.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - 0 - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (0))$

Étape 5.2.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - 0 - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

Étape 5.2.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + 0 - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

Étape 5.2.6

Additionnez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

Étape 5.2.7

Pour écrire $- (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.2.8

Associez $- (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{- (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.10

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} - 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} - 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - 2 \cdot 1}{2}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{\sqrt{2} - 2 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 2 \cdot 1}{2}$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{\sqrt{2} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{2}}{2} - 2 \cdot 1}{2}$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 2 \cdot 1}{2}$

Étape 5.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2} - - \sqrt{2} - 2 \cdot 1}{2}$

Étape 5.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2} + 1 \sqrt{2} - 2 \cdot 1}{2}$

Étape 5.3.4

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2} - 2 \cdot 1}{2}$

Étape 5.3.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2} - 2}{2}$

Étape 5.3.6

Additionnez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun à $2 \sqrt{2} - 2$ et $2$ .

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Étape 5.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}$

Étape 5.3.7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}$

Étape 5.3.7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}$

Étape 5.3.7.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}$

Étape 5.3.7.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.7.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2} - 1}{1}$

Étape 5.3.7.4.4

Divisez $\sqrt{2} - 1$ par $1$ .

$\sqrt{2} - 1$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{2} - 1$

Forme décimale :

$0.41421356 \dots$