Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (x) d x$

Étape 1

L’intégrale de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Étape 2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1

Évaluez $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ sur $\frac{π}{4}$ et sur $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Étape 2.2.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Étape 2.2.3

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Étape 2.2.4

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Étape 2.2.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 2.2.6

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1.1.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.3.1.1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.1.3.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |})$

Étape 2.3.1.2

$\sqrt{2} + 1$ est d’environ $2.41421356$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |})$

Étape 2.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

Étape 2.3.3

Divisez $\sqrt{2} + 1$ par $1$ .

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Forme décimale :

$0.88137358 \dots$