Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\sqrt{19}} 7 x \sqrt[3]{8 + x^{2}} d x$

Étape 1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$7 \int_{0}^{\sqrt{19}} x \sqrt[3]{8 + x^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 8 + x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Laissez $u = 8 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Différenciez $8 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [8 + x^{2}]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 2.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 8 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 8 + 0^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 8 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $8$ et $0$ .

$u_{lower} = 8$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 8 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 8 + {\sqrt{19}}^{2}$

Étape 2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{2}$ comme $19$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{19}$ comme $19^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 8 + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.5.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.5.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.5.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.5.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = 8 + 19^{1}$

Étape 2.5.1.5

Évaluez l’exposant.

$u_{upper} = 8 + 19$

Étape 2.5.2

Additionnez $8$ et $19$ .

$u_{upper} = 27$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 8$

$u_{upper} = 27$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$7 \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 3

Associez $\sqrt[3]{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$7 \int_{8}^{27} \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$7 (\frac{1}{2} \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} d u)$

Étape 5

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $7$ .

$\frac{7}{2} \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} d u$

Étape 5.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7}{2} \int_{8}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{7}{2} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{8}^{27}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Évaluez $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ sur $27$ et sur $8$ .

$\frac{7}{2} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Étape 7.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Étape 7.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Étape 7.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Étape 7.2.4

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Étape 7.2.5

Associez $\frac{3}{4}$ et $81$ .

$\frac{7}{2} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Étape 7.2.6

Multipliez $3$ par $81$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Étape 7.2.7

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Étape 7.2.8

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})$

Étape 7.2.9

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})$

Étape 7.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{4})$

Étape 7.2.10

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 16)$

Étape 7.2.11

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - 16 (\frac{3}{4}))$

Étape 7.2.12

Associez $- 16$ et $\frac{3}{4}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 16 \cdot 3}{4})$

Étape 7.2.13

Multipliez $- 16$ par $3$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 48}{4})$

Étape 7.2.14

Annulez le facteur commun à $- 48$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.14.1

Factorisez $4$ à partir de $- 48$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4})$

Étape 7.2.14.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.14.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4 (1)})$

Étape 7.2.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4 \cdot 1})$

Étape 7.2.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 12}{1})$

Étape 7.2.14.2.4

Divisez $- 12$ par $1$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - 12)$

Étape 7.2.15

Pour écrire $- 12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - 12 \cdot \frac{4}{4})$

Étape 7.2.16

Associez $- 12$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 12 \cdot 4}{4})$

Étape 7.2.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7}{2} \cdot \frac{243 - 12 \cdot 4}{4}$

Étape 7.2.18

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.18.1

Multipliez $- 12$ par $4$ .

$\frac{7}{2} \cdot \frac{243 - 48}{4}$

Étape 7.2.18.2

Soustrayez $48$ de $243$ .

$\frac{7}{2} \cdot \frac{195}{4}$

Étape 7.2.19

Multipliez $\frac{7}{2}$ par $\frac{195}{4}$ .

$\frac{7 \cdot 195}{2 \cdot 4}$

Étape 7.2.20

Multipliez $7$ par $195$ .

$\frac{1365}{2 \cdot 4}$

Étape 7.2.21

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1365}{8}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1365}{8}$

Forme décimale :

$170.625$

Forme de nombre mixte :

$170 \frac{5}{8}$

Étape 9