Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\sqrt[4]{π}} x^{3} \cos (x^{4}) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Étape 1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt[4]{π}}^{2}$

Étape 1.5

Réécrivez ${\sqrt[4]{π}}^{2}$ comme $\sqrt{π}$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{π}$ comme $π^{\frac{1}{4}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{4}})}^{2}$

Étape 1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

Étape 1.5.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{4}}$

Étape 1.5.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 1.5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2 (1)}{4}}$

Étape 1.5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 1.5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = π^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 1.5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.5.5

Réécrivez $π^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{π}$ .

$u_{upper} = \sqrt{π}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{π}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ comme ${u_{1}}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $u_{1}$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} \frac{u_{1}}{2} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Étape 2.3

Associez $\frac{u_{1}}{2}$ et $\cos ({u_{1}}^{2})$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} \frac{u_{1} \cos ({u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Étape 4

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Alors $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Étape 4.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

Étape 4.5

Réécrivez ${\sqrt{π}}^{2}$ comme $π$ .

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Étape 4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{π}$ comme $π^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 4.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Étape 4.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Étape 4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π^{1}$

Étape 4.5.5

Simplifiez

$u_{upper} = π$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 5

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 8

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \sin (u_{2})]_{0}^{π}$

Étape 9

Évaluez $\sin (u_{2})$ sur $π$ et sur $0$ .

$\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{4} (\sin (π) - 0)$

Étape 10.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{4} (\sin (π) + 0)$

Étape 10.3

Additionnez $\sin (π)$ et $0$ .

$\frac{1}{4} \sin (π)$

Étape 10.4

Associez $\frac{1}{4}$ et $\sin (π)$ .

$\frac{\sin (π)}{4}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{\sin (0)}{4}$

Étape 11.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{4}$

Étape 11.2

Divisez $0$ par $4$ .

$0$