Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$ comme $\frac{d}{d x} [x - 1]$ .

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Étape 1.1.2.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1.2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}}]$

Étape 1.1.2.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 1.1.2.1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}]$

Étape 1.1.2.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x - 1)}^{2}}]$

Étape 1.1.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$u_{lower} = \sqrt{0^{2} - 2 \cdot 0 + 1}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 - 2 \cdot 0 + 1}$

Étape 1.3.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 + 0 + 1}$

Étape 1.3.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 + 1}$

Étape 1.3.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{1}$

Étape 1.3.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$u_{upper} = \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 \cdot 1 + 1}$

Étape 1.5.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 + 1}$

Étape 1.5.3

Soustrayez $2$ de $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{- 1 + 1}$

Étape 1.5.4

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{0}$

Étape 1.5.5

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$u_{upper} = \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u_{upper} = 0$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{0} u d u$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{0}$

Étape 3

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.1

Évaluez $\frac{1}{2} u^{2}$ sur $0$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Étape 3.2.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Étape 3.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Étape 3.2.5

Soustrayez $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$- 0.5$

Étape 5