Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{10 - \cos (x)}{10 + \sin (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 10 - \cos (x)$ et $g (x) = 10 + \sin (x)$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [10 - \cos (x)] - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) (- - \sin (x)) - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) (1 \sin (x)) - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 4.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) \sin (x) - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) \sin (x) - (10 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 4.4

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) \sin (x) - (10 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 4.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) \sin (x) - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) \sin (x) - (10 - \cos (x)) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - (10 - \cos (x)) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + (- 1 \cdot 10 - - \cos (x)) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - 1 \cdot 10 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1.1

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 6.4.1.1.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) - 1 \cdot 10 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 6.4.1.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - 1 \cdot 10 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 6.4.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{10 \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot 10 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 6.4.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 \cdot 10 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 6.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 10 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 6.4.1.3

Multipliez $- - \cos (x)$ .

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Étape 6.4.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 10 \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 6.4.1.3.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 10 \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 6.4.1.4

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 6.4.1.4.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 10 \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 6.4.1.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 10 \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 6.4.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 10 \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 6.4.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 10 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 6.4.2

Déplacez $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 10 \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 6.4.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{10 \sin (x) + 1 - 10 \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 6.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1 + 10 \sin (x) - 10 \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$