Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{16} 3 \sqrt{x} d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{0}^{16} \sqrt{x} d x$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{0}^{16} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{16})$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{16})$

Étape 4.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Évaluez $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $16$ et sur $0$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{2 \cdot 4^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.4

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $2$ par $64$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.6

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Étape 4.2.2.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Étape 4.2.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Étape 4.2.2.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Étape 4.2.2.10

Multipliez $2$ par $0$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{0}{3})$

Étape 4.2.2.11

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 4.2.2.11.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Étape 4.2.2.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 4.2.2.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{128}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 4.2.2.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{128}{3} - \frac{0}{1})$

Étape 4.2.2.11.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$3 (\frac{128}{3} - 0)$

Étape 4.2.2.12

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$3 (\frac{128}{3} + 0)$

Étape 4.2.2.13

Additionnez $\frac{128}{3}$ et $0$ .

$3 (\frac{128}{3})$

Étape 4.2.2.14

Associez $3$ et $\frac{128}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 128}{3}$

Étape 4.2.2.15

Multipliez $3$ par $128$ .

$\frac{384}{3}$

Étape 4.2.2.16

Annulez le facteur commun à $384$ et $3$ .

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Étape 4.2.2.16.1

Factorisez $3$ à partir de $384$ .

$\frac{3 \cdot 128}{3}$

Étape 4.2.2.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.16.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 128}{3 (1)}$

Étape 4.2.2.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 128}{3 \cdot 1}$

Étape 4.2.2.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{128}{1}$

Étape 4.2.2.16.2.4

Divisez $128$ par $1$ .

$128$

Étape 5