Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} 7 x e^{5 x} d x$

Étape 1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$7 \int_{0}^{1} x e^{5 x} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{5 x}$ .

$7 (x (\frac{1}{5} e^{5 x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $e^{5 x}$ .

$7 (x \frac{e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

Étape 3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{5} e^{5 x} d x)$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $e^{5 x}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{5 x}}{5} d x)$

Étape 4

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} \int_{0}^{1} e^{5 x} d x))$

Étape 5

Laissez $u = 5 x$ . Alors $d u = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 5 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 5.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

Étape 5.3

Multipliez $5$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

Étape 5.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$u_{upper} = 5$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} \frac{1}{5} d u)$

Étape 6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{5}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} \int_{0}^{5} \frac{e^{u}}{5} d u)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u))$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{5}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

Étape 8.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{25} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{1}{25} e^{u}]_{0}^{5})$

Étape 10

Associez $e^{u}]_{0}^{5}$ et $\frac{1}{25}$ .

$7 (\frac{x e^{5 x}}{5}]_{0}^{1} - \frac{e^{u}]_{0}^{5}}{25})$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1

Évaluez $\frac{x e^{5 x}}{5}$ sur $1$ et sur $0$ .

$7 ((\frac{1 e^{5 \cdot 1}}{5}) - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{e^{u}]_{0}^{5}}{25})$

Étape 11.2

Évaluez $e^{u}$ sur $5$ et sur $0$ .

$7 ((\frac{1 e^{5 \cdot 1}}{5}) - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Étape 11.3

Simplifiez

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Étape 11.3.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$7 (\frac{1 e^{5}}{5} - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Étape 11.3.2

Multipliez $e^{5}$ par $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 e^{5 \cdot 0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Étape 11.3.3

Multipliez $5$ par $0$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 e^{0}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Étape 11.3.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0 \cdot 1}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Étape 11.3.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Étape 11.3.6

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 11.3.6.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 (0)}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Étape 11.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Étape 11.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Étape 11.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Étape 11.3.6.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - 0 - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Étape 11.3.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} + 0 - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Étape 11.3.8

Additionnez $\frac{e^{5}}{5}$ et $0$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{(e^{5}) - e^{0}}{25})$

Étape 11.3.9

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{5} - 1 \cdot 1}{25})$

Étape 11.3.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

Étape 11.3.11

Pour écrire $\frac{e^{5}}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$7 (\frac{e^{5}}{5} \cdot \frac{5}{5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

Étape 11.3.12

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $25$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.3.12.1

Multipliez $\frac{e^{5}}{5}$ par $\frac{5}{5}$ .

$7 (\frac{e^{5} \cdot 5}{5 \cdot 5} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

Étape 11.3.12.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$7 (\frac{e^{5} \cdot 5}{25} - \frac{e^{5} - 1}{25})$

Étape 11.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 \frac{e^{5} \cdot 5 - (e^{5} - 1)}{25}$

Étape 11.3.14

Déplacez $5$ à gauche de $e^{5}$ .

$7 \frac{5 \cdot e^{5} - (e^{5} - 1)}{25}$

Étape 11.3.15

Associez $7$ et $\frac{5 e^{5} - (e^{5} - 1)}{25}$ .

$\frac{7 (5 e^{5} - (e^{5} - 1))}{25}$

Étape 12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 (5 e^{5} - e^{5} - - 1)}{25}$

Étape 12.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{7 (5 e^{5} - e^{5} + 1)}{25}$

Étape 12.3

Soustrayez $e^{5}$ de $5 e^{5}$ .

$\frac{7 (4 e^{5} + 1)}{25}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{7 (4 e^{5} + 1)}{25}$

Forme décimale :

$166.50273819 \dots$

Étape 14