Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \ln (x^{2} + 1) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x^{2} + 1)$ et $d v = 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Associez $x$ et $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x (2 x)}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x)$

Étape 4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Étape 5

Divisez $x^{2}$ par $x^{2} + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Étape 5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Étape 5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Étape 5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Étape 5.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Étape 9.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Étape 10

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x)]_{0}^{1}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Évaluez $\ln (x^{2} + 1) x$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Étape 11.2

Évaluez $x$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 ((1) + 0 - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Étape 11.3

Évaluez $\arctan (x)$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Étape 11.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\ln (1 + 1) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Étape 11.4.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\ln (2) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Étape 11.4.3

Multipliez $\ln (2)$ par $1$ .

$\ln (2) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Étape 11.4.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\ln (2) - \ln (0 + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Étape 11.4.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$\ln (2) - \ln (1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Étape 11.4.6

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\ln (2) + 0 \ln (1) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Étape 11.4.7

Multipliez $0$ par $\ln (1)$ .

$\ln (2) + 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Étape 11.4.8

Additionnez $\ln (2)$ et $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Étape 11.4.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - \arctan (0)))$

Étape 12.1.1.2

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - 0))$

Étape 12.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} + 0))$

Étape 12.1.2

Additionnez $\frac{π}{4}$ et $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - \frac{π}{4})$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (2) - 2 \cdot 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

Étape 12.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\ln (2) - 2 - 2 (- \frac{π}{4})$

Étape 12.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{4}$ dans le numérateur.

$\ln (2) - 2 - 2 \frac{- π}{4}$

Étape 12.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\ln (2) - 2 + 2 (- 1) \frac{- π}{4}$

Étape 12.4.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Étape 12.4.4

Annulez le facteur commun.

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Étape 12.4.5

Réécrivez l’expression.

$\ln (2) - 2 - \frac{- π}{2}$

Étape 12.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (2) - 2 - - \frac{π}{2}$

Étape 12.5.2

Multipliez $- - \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (2) - 2 + 1 \frac{π}{2}$

Étape 12.5.2.2

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $1$ .

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

Forme décimale :

$0.26394350 \dots$