Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} 4 x^{3} e^{x^{4}} d x$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{0}^{1} x^{3} e^{x^{4}} d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Étape 2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Étape 2.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ comme ${u_{1}}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$4 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $u_{1}$ .

$4 \int_{0}^{1} \frac{u_{1}}{2} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 3.3

Associez $\frac{u_{1}}{2}$ et $e^{{u_{1}}^{2}}$ .

$4 \int_{0}^{1} \frac{u_{1} e^{{u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{4}{2} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 5.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \int_{0}^{1} u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 6

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Alors $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Étape 6.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Étape 6.2

Remplacez la limite inférieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Étape 6.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 6.4

Remplacez la limite supérieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Étape 6.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1$

Étape 6.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 6.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 \int_{0}^{1} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 7

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{0}^{1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 9.3

Multipliez $\int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$ par $1$ .

$\int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 10

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{2}}]_{0}^{1}$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1

Évaluez $e^{u_{2}}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(e^{1}) - e^{0}$

Étape 11.2

Simplifiez

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Étape 11.2.1

Simplifiez

$e - e^{0}$

Étape 11.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$e - 1 \cdot 1$

Étape 11.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e - 1$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e - 1$

Forme décimale :

$1.71828182 \dots$

Étape 13