Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} x (\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}) d x$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{1} x (x^{\frac{1}{3}} + \sqrt[4]{x}) d x$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x}$ comme $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\int_{0}^{1} x (x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{4}}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{1} x \cdot x^{\frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Étape 3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{1} x^{1} x^{\frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{1} x^{1 + \frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Étape 3.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{3 + 1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Étape 3.6

Additionnez $3$ et $1$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Étape 3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{1} x^{\frac{1}{4}} d x$

Étape 3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{1 + \frac{1}{4}} d x$

Étape 3.9

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}} d x$

Étape 3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4 + 1}{4}} d x$

Étape 3.11

Additionnez $4$ et $1$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{5}{4}} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} d x + \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{4}} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{4}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{4}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{5}{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1} + \frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1}$ et $\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 1^{\frac{9}{4}}) - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Étape 7.2.2

Simplifiez

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Étape 7.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{3}{7} \cdot 1 + \frac{4}{9} \cdot 1^{\frac{9}{4}} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $\frac{3}{7}$ par $1$ .

$\frac{3}{7} + \frac{4}{9} \cdot 1^{\frac{9}{4}} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Étape 7.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{3}{7} + \frac{4}{9} \cdot 1 - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Étape 7.2.2.4

Multipliez $\frac{4}{9}$ par $1$ .

$\frac{3}{7} + \frac{4}{9} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Étape 7.2.2.5

Pour écrire $\frac{3}{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Étape 7.2.2.6

Pour écrire $\frac{4}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Étape 7.2.2.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $63$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.2.7.1

Multipliez $\frac{3}{7}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Étape 7.2.2.7.2

Multipliez $7$ par $9$ .

$\frac{3 \cdot 9}{63} + \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Étape 7.2.2.7.3

Multipliez $\frac{4}{9}$ par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{3 \cdot 9}{63} + \frac{4 \cdot 7}{9 \cdot 7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Étape 7.2.2.7.4

Multipliez $9$ par $7$ .

$\frac{3 \cdot 9}{63} + \frac{4 \cdot 7}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Étape 7.2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 \cdot 9 + 4 \cdot 7}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Étape 7.2.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.9.1

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{27 + 4 \cdot 7}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Étape 7.2.2.9.2

Multipliez $4$ par $7$ .

$\frac{27 + 28}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Étape 7.2.2.9.3

Additionnez $27$ et $28$ .

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Étape 7.2.2.10

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot {(0^{3})}^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Étape 7.2.2.11

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Étape 7.2.2.12

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.2.12.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Étape 7.2.2.12.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{7} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Étape 7.2.2.13

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Étape 7.2.2.14

Multipliez $\frac{3}{7}$ par $0$ .

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Étape 7.2.2.15

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot {(0^{4})}^{\frac{9}{4}})$

Étape 7.2.2.16

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})})$

Étape 7.2.2.17

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.2.17.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})})$

Étape 7.2.2.17.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{9})$

Étape 7.2.2.18

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0)$

Étape 7.2.2.19

Multipliez $\frac{4}{9}$ par $0$ .

$\frac{55}{63} - (0 + 0)$

Étape 7.2.2.20

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{55}{63} - 0$

Étape 7.2.2.21

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{55}{63} + 0$

Étape 7.2.2.22

Additionnez $\frac{55}{63}$ et $0$ .

$\frac{55}{63}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{55}{63}$

Forme décimale :

$0.\overline{873015}$

Étape 9