Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} d x$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}$

Étape 3

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.1

Évaluez $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ sur $8$ et sur $0$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.2.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.2.5

Associez $\frac{3}{4}$ et $16$ .

$\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.2.6

Multipliez $3$ par $16$ .

$\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.2.7

Annulez le facteur commun à $48$ et $4$ .

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Étape 3.2.7.1

Factorisez $4$ à partir de $48$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.2.7.2.4

Divisez $12$ par $1$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.2.8

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 3.2.9

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Étape 3.2.10

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.10.1

Annulez le facteur commun.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Étape 3.2.10.2

Réécrivez l’expression.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{4}$

Étape 3.2.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0$

Étape 3.2.12

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$12 + 0 (\frac{3}{4})$

Étape 3.2.13

Multipliez $0$ par $\frac{3}{4}$ .

$12 + 0$

Étape 3.2.14

Additionnez $12$ et $0$ .

$12$

Étape 4