Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{8} 8 - 4 \sqrt[3]{x} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{8} 8 d x + \int_{0}^{8} - 4 \sqrt[3]{x} d x$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$8 x]_{0}^{8} + \int_{0}^{8} - 4 \sqrt[3]{x} d x$

Étape 3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$8 x]_{0}^{8} - 4 \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} d x$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$8 x]_{0}^{8} - 4 \int_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$8 x]_{0}^{8} - 4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8})$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $x^{\frac{4}{3}}$ .

$8 x]_{0}^{8} - 4 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{8})$

Étape 6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Évaluez $8 x$ sur $8$ et sur $0$ .

$(8 \cdot 8) - 8 \cdot 0 - 4 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{8})$

Étape 6.2.2

Évaluez $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ sur $8$ et sur $0$ .

$8 \cdot 8 - 8 \cdot 0 - 4 (\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 6.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $8$ par $8$ .

$64 - 8 \cdot 0 - 4 (\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$64 + 0 - 4 (\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 6.2.3.3

Additionnez $64$ et $0$ .

$64 - 4 (\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 6.2.3.4

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$64 - 4 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 6.2.3.5

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 - 4 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 6.2.3.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$64 - 4 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 6.2.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$64 - 4 (\frac{3 \cdot 2^{4}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 6.2.3.7

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$64 - 4 (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 6.2.3.8

Multipliez $3$ par $16$ .

$64 - 4 (\frac{48}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 6.2.3.9

Annulez le facteur commun à $48$ et $4$ .

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Étape 6.2.3.9.1

Factorisez $4$ à partir de $48$ .

$64 - 4 (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 6.2.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.9.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$64 - 4 (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 6.2.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$64 - 4 (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 6.2.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$64 - 4 (\frac{12}{1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 6.2.3.9.2.4

Divisez $12$ par $1$ .

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 6.2.3.10

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 6.2.3.11

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Étape 6.2.3.12

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.3.12.1

Annulez le facteur commun.

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Étape 6.2.3.12.2

Réécrivez l’expression.

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot 0^{4}}{4})$

Étape 6.2.3.13

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot 0}{4})$

Étape 6.2.3.14

Multipliez $3$ par $0$ .

$64 - 4 (12 - \frac{0}{4})$

Étape 6.2.3.15

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 6.2.3.15.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$64 - 4 (12 - \frac{4 (0)}{4})$

Étape 6.2.3.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.15.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$64 - 4 (12 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Étape 6.2.3.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$64 - 4 (12 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Étape 6.2.3.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$64 - 4 (12 - \frac{0}{1})$

Étape 6.2.3.15.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$64 - 4 (12 - 0)$

Étape 6.2.3.16

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$64 - 4 (12 + 0)$

Étape 6.2.3.17

Additionnez $12$ et $0$ .

$64 - 4 \cdot 12$

Étape 6.2.3.18

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$64 - 48$

Étape 6.2.3.19

Soustrayez $48$ de $64$ .

$16$

Étape 7