Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{4} x^{2} \sqrt{16 - x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $x = 4 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 4 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \cos (t)$ est positif.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 - (4^{2} \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 - (16 \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.3

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $16$ à partir de $16$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $16$ à partir de $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $16$ à partir de $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{16 \cos^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $16 \cos^{2} (t)$ comme ${(4 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 \sin (t))}^{2} (4 \cos (t)) (4 \cos (t)) d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(4 (\sin (t)))}^{2} (4 \cos (t)) (4 \cos (t)) d t$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de produit à $4 (\sin (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 4^{2} \sin^{2} (t) (4 \cos (t)) (4 \cos (t)) d t$

Étape 2.2.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 16 \sin^{2} (t) (4 \cos (t)) (4 \cos (t)) d t$

Étape 2.2.4

Multipliez $4$ par $16$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 64 \sin^{2} (t) \cos (t) (4 \cos (t)) d t$

Étape 2.2.5

Multipliez $4$ par $64$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 256 \sin^{2} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

Étape 2.2.6

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 256 \sin^{2} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Étape 2.2.7

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 256 \sin^{2} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Étape 2.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 256 \sin^{2} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Étape 2.2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 256 \sin^{2} (t) \cos^{2} (t) d t$

Étape 3

Comme $256$ est constant par rapport à $t$ , placez $256$ en dehors de l’intégrale.

$256 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (t) \cos^{2} (t) d t$

Étape 4

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t)$ en $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$256 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (t) \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 5

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (t)$ en $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$256 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ par $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$256 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t))}{2 \cdot 2} d t$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$256 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t))}{4} d t$

Étape 7

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$256 (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $256$ .

$\frac{256}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun à $256$ et $4$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $4$ à partir de $256$ .

$\frac{4 \cdot 64}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t$

Étape 8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t$

Étape 8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{64}{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t$

Étape 8.2.2.4

Divisez $64$ par $1$ .

$64 \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) (1 + \cos (2 t)) d t$

Étape 9

Laissez $u_{1} = 2 t$ . Alors $d u_{1} = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 9.1

Laissez $u_{1} = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 9.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 9.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 9.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u_{1} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 9.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 9.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u_{1} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.5.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 9.5.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π$

Étape 9.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Étape 9.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$64 \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$64 (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

Étape 11

Simplifiez en multipliant.

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Étape 11.1

Simplifiez

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Étape 11.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $64$ .

$\frac{64}{2} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 11.1.2

Annulez le facteur commun à $64$ et $2$ .

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Étape 11.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 11.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 11.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 11.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{32}{1} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 11.1.2.2.4

Divisez $32$ par $1$ .

$32 \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 11.2

Développez $(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ .

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Étape 11.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$32 \int_{0}^{π} 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 11.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$32 \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 11.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$32 \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 11.2.4

Déplacez $\cos (u_{1})$ .

$32 \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 11.2.5

Multipliez $1$ par $1$ .

$32 \int_{0}^{π} 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 11.2.6

Multipliez $\cos (u_{1})$ par $1$ .

$32 \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 11.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$32 \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Étape 11.2.8

Factorisez le signe négatif.

$32 \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 11.2.9

Élevez $\cos (u_{1})$ à la puissance $1$ .

$32 \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Étape 11.2.10

Élevez $\cos (u_{1})$ à la puissance $1$ .

$32 \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

Étape 11.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$32 \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

Étape 11.2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$32 \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 11.2.13

Soustrayez $\cos (u_{1})$ de $\cos (u_{1})$ .

$32 \int_{0}^{π} 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 11.2.14

Soustrayez $\cos^{2} (u_{1})$ de $0$ .

$32 \int_{0}^{π} 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 12

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$32 (\int_{0}^{π} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Étape 13

Appliquez la règle de la constante.

$32 (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Étape 14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Étape 15

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

Étape 16

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Étape 17

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (\int_{0}^{π} d u_{1} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Étape 18

Appliquez la règle de la constante.

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Étape 19

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 19.1

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 19.1.1

Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 19.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 19.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 19.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 19.2

Remplacez la limite inférieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 19.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 19.4

Remplacez la limite supérieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 π$

Étape 19.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Étape 19.6

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

Étape 20

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

Étape 21

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Étape 22

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

Étape 23

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}$ .

$32 (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}))$

Étape 24

Remplacez et simplifiez.

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Étape 24.1

Évaluez $u_{1}$ sur $π$ et sur $0$ .

$32 ((π) + 0 - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}))$

Étape 24.2

Évaluez $u_{1}$ sur $π$ et sur $0$ .

$32 (π + 0 - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{2 π}}{2}))$

Étape 24.3

Évaluez $\sin (u_{2})$ sur $2 π$ et sur $0$ .

$32 (π + 0 - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{(\sin (2 π)) - \sin (0)}{2}))$

Étape 24.4

Simplifiez

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Étape 24.4.1

Additionnez $π$ et $0$ .

$32 (π - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{(\sin (2 π)) - \sin (0)}{2}))$

Étape 24.4.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$32 (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (2 π) - \sin (0)}{2}))$

Étape 25

Simplifiez

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Étape 25.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$32 (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (2 π) - 0}{2}))$

Étape 25.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$32 (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (2 π) + 0}{2}))$

Étape 25.3

Additionnez $\sin (2 π)$ et $0$ .

$32 (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (2 π)}{2}))$

Étape 26

Simplifiez

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Étape 26.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 26.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 26.1.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$32 (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (0)}{2}))$

Étape 26.1.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$32 (π - \frac{1}{2} (π + \frac{0}{2}))$

Étape 26.1.2

Divisez $0$ par $2$ .

$32 (π - \frac{1}{2} (π + 0))$

Étape 26.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$32 (π - \frac{1}{2} π)$

Étape 26.3

Associez $π$ et $\frac{1}{2}$ .

$32 (π - \frac{π}{2})$

Étape 26.4

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$32 (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 26.5

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$32 (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 26.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$32 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 26.7

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$32 \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 26.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 26.8.1

Factorisez $2$ à partir de $32$ .

$2 (16) \frac{2 π - π}{2}$

Étape 26.8.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 16 \frac{2 π - π}{2}$

Étape 26.8.3

Réécrivez l’expression.

$16 (2 π - π)$

Étape 26.9

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$16 π$

Étape 27

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$16 π$

Forme décimale :

$50.26548245 \dots$

Étape 28