Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{4} \frac{1}{2 + t} d t d t$

Étape 1

Laissez $u = 2 + t$ . Puis $d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 + t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 + t$ .

$\frac{d}{d t} [2 + t]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t]$

Étape 1.1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 1.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = 2 + t$ .

$u_{lower} = 2 + 0$

Étape 1.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$u_{lower} = 2$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = 2 + t$ .

$u_{upper} = 2 + 4$

Étape 1.5

Additionnez $2$ et $4$ .

$u_{upper} = 6$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 6$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{2}^{6} \frac{1}{u} d u d t$

Étape 2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{6} d t$

Étape 3

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $6$ et sur $2$ .

$(\ln (| 6 |) - \ln (| 2 |)) d t$

Étape 4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 6 |}{| 2 |}) d t$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $6$ est $6$ .

$\ln (\frac{6}{| 2 |}) d t$

Étape 5.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\ln (\frac{6}{2}) d t$

Étape 5.3

Divisez $6$ par $2$ .

$\ln (3) d t$

Étape 6