Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} x^{3} - 6 x d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{3} x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 6 x d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - 6 x d x$

Étape 3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3} - 6 \int_{0}^{3} x d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3} - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3})$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $\frac{1}{4} x^{4}$ sur $3$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 3^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Étape 5.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $3$ et sur $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 3^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.2.3

Simplifiez

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Étape 5.2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 81 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.2.3.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $81$ .

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.2.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0 - 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.2.3.4

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{81}{4} + 0 (\frac{1}{4}) - 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $0$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{81}{4} + 0 - 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.2.3.6

Additionnez $\frac{81}{4}$ et $0$ .

$\frac{81}{4} - 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.2.3.7

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{81}{4} - 6 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 5.2.3.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{81}{4} - 6 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2})$

Étape 5.2.3.9

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 5.2.3.9.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{81}{4} - 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 5.2.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{81}{4} - 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 5.2.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{81}{4} - 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 5.2.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{81}{4} - 6 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1})$

Étape 5.2.3.9.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{81}{4} - 6 (\frac{9}{2} - 0)$

Étape 5.2.3.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{81}{4} - 6 (\frac{9}{2} + 0)$

Étape 5.2.3.11

Additionnez $\frac{9}{2}$ et $0$ .

$\frac{81}{4} - 6 (\frac{9}{2})$

Étape 5.2.3.12

Associez $- 6$ et $\frac{9}{2}$ .

$\frac{81}{4} + \frac{- 6 \cdot 9}{2}$

Étape 5.2.3.13

Multipliez $- 6$ par $9$ .

$\frac{81}{4} + \frac{- 54}{2}$

Étape 5.2.3.14

Annulez le facteur commun à $- 54$ et $2$ .

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Étape 5.2.3.14.1

Factorisez $2$ à partir de $- 54$ .

$\frac{81}{4} + \frac{2 \cdot - 27}{2}$

Étape 5.2.3.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.14.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{81}{4} + \frac{2 \cdot - 27}{2 (1)}$

Étape 5.2.3.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{81}{4} + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{81}{4} + \frac{- 27}{1}$

Étape 5.2.3.14.2.4

Divisez $- 27$ par $1$ .

$\frac{81}{4} - 27$

Étape 5.2.3.15

Pour écrire $- 27$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{4} - 27 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 5.2.3.16

Associez $- 27$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{4} + \frac{- 27 \cdot 4}{4}$

Étape 5.2.3.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{81 - 27 \cdot 4}{4}$

Étape 5.2.3.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.18.1

Multipliez $- 27$ par $4$ .

$\frac{81 - 108}{4}$

Étape 5.2.3.18.2

Soustrayez $108$ de $81$ .

$\frac{- 27}{4}$

Étape 5.2.3.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{27}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{27}{4}$

Forme décimale :

$- 6.75$

Forme de nombre mixte :

$- 6 \frac{3}{4}$

Étape 7