Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} e^{t} - e^{- t} d t$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{3} e^{t} d t + \int_{0}^{3} - e^{- t} d t$

Étape 2

L’intégrale de $e^{t}$ par rapport à $t$ est $e^{t}$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - e^{- t} d t$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{t}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} e^{- t} d t$

Étape 4

Laissez $u = - t$ . Alors $d u = - d t$ , donc $- d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = - t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Étape 4.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = - t$ .

$u_{lower} = - 0$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = - t$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

Étape 4.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$u_{upper} = - 3$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$e^{t}]_{0}^{3} - \int_{0}^{- 3} - e^{u} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{t}]_{0}^{3} - - \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + 1 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Étape 6.2

Multipliez $\int_{0}^{- 3} e^{u} d u$ par $1$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Étape 7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + e^{u}]_{0}^{- 3}$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $e^{t}$ sur $3$ et sur $0$ .

$(e^{3}) - e^{0} + e^{u}]_{0}^{- 3}$

Étape 8.2

Évaluez $e^{u}$ sur $- 3$ et sur $0$ .

$(e^{3}) - e^{0} + (e^{- 3}) - e^{0}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$e^{3} - 1 \cdot 1 + (e^{- 3}) - e^{0}$

Étape 8.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{3} - 1 + (e^{- 3}) - e^{0}$

Étape 8.3.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$e^{3} - 1 + e^{- 3} - 1 \cdot 1$

Étape 8.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{3} - 1 + e^{- 3} - 1$

Étape 8.3.5

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$e^{3} + e^{- 3} - 2$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e^{3} + e^{- 3} - 2$

Forme décimale :

$18.13532399 \dots$

Étape 10