Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} 4 \sqrt{x} - \frac{5}{x} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} 4 \sqrt{x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

Étape 2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{1}^{2} \sqrt{x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int_{1}^{2} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

Étape 5

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) - \int_{1}^{2} \frac{5}{x} d x$

Étape 7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) - (5 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x)$

Étape 8

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) - 5 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) - 5 (\ln (| x |)]_{1}^{2})$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1.1

Évaluez $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $2$ et sur $1$ .

$4 ((\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| x |)]_{1}^{2})$

Étape 10.1.2

Évaluez $\ln (| x |)$ sur $2$ et sur $1$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.1.3

Simplifiez

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Étape 10.1.3.1

Multipliez $2$ par $2^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.1.3.1.1

Multipliez $2$ par $2^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 10.1.3.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$4 (\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.1.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.1.3.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$4 (\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.1.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.1.3.1.4

Additionnez $2$ et $3$ .

$4 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.1.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.1.3.5

Associez $4$ et $\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ .

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{3} - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.1.3.6

Pour écrire $- 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{3} - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3}$

Étape 10.1.3.7

Associez $- 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{3} + \frac{- 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3}$

Étape 10.1.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3}$

Étape 10.1.3.9

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2) - 15 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{3}$

Étape 10.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2) - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \cdot 2^{\frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Étape 10.3.2

Multipliez $4 \cdot 2^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 10.3.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Étape 10.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2^{2 + \frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Étape 10.3.2.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Étape 10.3.2.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Étape 10.3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{2 \cdot 2 + 5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Étape 10.3.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.2.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2^{\frac{4 + 5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Étape 10.3.2.6.2

Additionnez $4$ et $5$ .

$\frac{2^{\frac{9}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Étape 10.3.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Étape 10.3.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (\frac{2}{| 1 |})}{3}$

Étape 10.3.5

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (\frac{2}{1})}{3}$

Étape 10.3.6

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (2)}{3}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (2)}{3}$

Forme décimale :

$1.41006976 \dots$

Étape 12