Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} \frac{1}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 3 - 5 x$ . Alors $d u = - 5 d x$ , donc $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 3 - 5 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 1.1.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$0 - 5$

Étape 1.1.4

Soustrayez $5$ de $0$ .

$- 5$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 3 - 5 x$ .

$u_{lower} = 3 - 5 \cdot 1$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$u_{lower} = 3 - 5$

Étape 1.3.2

Soustrayez $5$ de $3$ .

$u_{lower} = - 2$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 3 - 5 x$ .

$u_{upper} = 3 - 5 \cdot 2$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$u_{upper} = 3 - 10$

Étape 1.5.2

Soustrayez $10$ de $3$ .

$u_{upper} = - 7$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 7$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 5} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{5}) d u$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{1}{u^{2}}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\int_{- 2}^{- 7} - \frac{1}{u^{2} \cdot 5} d u$

Étape 2.3

Déplacez $5$ à gauche de $u^{2}$ .

$\int_{- 2}^{- 7} - \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} d u)$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} u^{- 2} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{5} - u^{- 1}]_{- 2}^{- 7}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $- u^{- 1}$ sur $- 7$ et sur $- 2$ .

$- \frac{1}{5} ((- {(- 7)}^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5} (- \frac{1}{- 7} + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 7.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{5} (- - \frac{1}{7} + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 7.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{5} (1 (\frac{1}{7}) + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 7.2.4

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $1$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} + {(- 2)}^{- 1})$

Étape 7.2.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} + \frac{1}{- 2})$

Étape 7.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} - \frac{1}{2})$

Étape 7.2.7

Pour écrire $\frac{1}{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 7.2.8

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

Étape 7.2.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $14$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.9.1

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{7 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

Étape 7.2.9.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

Étape 7.2.9.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{7}{2 \cdot 7})$

Étape 7.2.9.4

Multipliez $2$ par $7$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{7}{14})$

Étape 7.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{2 - 7}{14}$

Étape 7.2.11

Soustrayez $7$ de $2$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{- 5}{14}$

Étape 7.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{5} (- \frac{5}{14})$

Étape 7.2.13

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{5}) \frac{5}{14}$

Étape 7.2.14

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{14}$

Étape 7.2.15

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{5}{14}$ .

$\frac{5}{5 \cdot 14}$

Étape 7.2.16

Multipliez $5$ par $14$ .

$\frac{5}{70}$

Étape 7.2.17

Annulez le facteur commun à $5$ et $70$ .

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Étape 7.2.17.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (1)}{70}$

Étape 7.2.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.17.2.1

Factorisez $5$ à partir de $70$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 14}$

Étape 7.2.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 14}$

Étape 7.2.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{14}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{14}$

Forme décimale :

$0.0\overline{714285}$

Étape 9