Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} x \sin (π x^{2}) d x$

Étape 1

Laissez $u = π x^{2}$ . Alors $d u = 2 \cdot x π d x$ , donc $\frac{1}{2 π} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = π x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $π x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [π x^{2}]$

Étape 1.1.2

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x^{2}$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$π (2 x)$

Étape 1.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$2 π x$

Étape 1.1.5

Remettez dans l’ordre $2 π$ et $x$ .

$x (2 π)$

Étape 1.1.6

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$2 \cdot x π$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = π x^{2}$ .

$u_{lower} = π \cdot 1^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{lower} = π \cdot 1$

Étape 1.3.2

Multipliez $π$ par $1$ .

$u_{lower} = π$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = π x^{2}$ .

$u_{upper} = π \cdot 3^{2}$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = π \cdot 9$

Étape 1.5.2

Déplacez $9$ à gauche de $π$ .

$u_{upper} = 9 π$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = 9 π$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{π}^{9 π} \sin (u) \frac{1}{2 π} d u$

Étape 2

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2 π}$ .

$\int_{π}^{9 π} \frac{\sin (u)}{2 π} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2 π}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2 π}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2 π} \int_{π}^{9 π} \sin (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2 π} - \cos (u)]_{π}^{9 π}$

Étape 5

Évaluez $- \cos (u)$ sur $9 π$ et sur $π$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (9 π) + \cos (π))$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + \cos (π))$

Étape 6.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{1}{2 π} (- - \cos (0) + \cos (π))$

Étape 6.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- (- 1 \cdot 1) + \cos (π))$

Étape 6.1.4

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- - 1 + \cos (π))$

Étape 6.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 + \cos (π))$

Étape 6.1.5

$\frac{1}{2 π} (1 - \cos (0))$

Étape 6.1.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 - 1 \cdot 1)$

Étape 6.1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 - 1)$

Étape 6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{2 π} \cdot 0$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{1}{2 π}$ par $0$ .

$0$