Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{4} 5 - 2 x + 3 x^{2} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{4} 5 d x + \int_{1}^{4} - 2 x d x + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$5 x]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - 2 x d x + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Étape 3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$5 x]_{1}^{4} - 2 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Étape 6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} x^{2} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4})$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $5 x$ sur $4$ et sur $1$ .

$(5 \cdot 4) - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $1$ .

$5 \cdot 4 - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Étape 8.2.3

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $4$ et sur $1$ .

$5 \cdot 4 - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4

Simplifiez

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Étape 8.2.4.1

Multipliez $5$ par $4$ .

$20 - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.2

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$20 - 5 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.3

Soustrayez $5$ de $20$ .

$15 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$15 - 2 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.5

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 8.2.4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$15 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.4.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$15 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$15 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$15 - 2 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.5.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$15 - 2 (8 - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$15 - 2 (8 - \frac{1}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.7

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$15 - 2 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.8

Associez $8$ et $\frac{2}{2}$ .

$15 - 2 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$15 - 2 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.4.10.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$15 - 2 \frac{16 - 1}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.10.2

Soustrayez $1$ de $16$ .

$15 - 2 (\frac{15}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.11

Associez $- 2$ et $\frac{15}{2}$ .

$15 + \frac{- 2 \cdot 15}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.12

Multipliez $- 2$ par $15$ .

$15 + \frac{- 30}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.13

Annulez le facteur commun à $- 30$ et $2$ .

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Étape 8.2.4.13.1

Factorisez $2$ à partir de $- 30$ .

$15 + \frac{2 \cdot - 15}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.4.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$15 + \frac{2 \cdot - 15}{2 (1)} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$15 + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 1} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$15 + \frac{- 15}{1} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.13.2.4

Divisez $- 15$ par $1$ .

$15 - 15 + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.14

Soustrayez $15$ de $15$ .

$0 + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.15

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$0 + 3 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.16

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 + 3 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 8.2.4.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 + 3 \frac{64 - 1}{3}$

Étape 8.2.4.18

Soustrayez $1$ de $64$ .

$0 + 3 (\frac{63}{3})$

Étape 8.2.4.19

Annulez le facteur commun à $63$ et $3$ .

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Étape 8.2.4.19.1

Factorisez $3$ à partir de $63$ .

$0 + 3 \frac{3 \cdot 21}{3}$

Étape 8.2.4.19.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.4.19.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$0 + 3 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)}$

Étape 8.2.4.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + 3 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1}$

Étape 8.2.4.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + 3 (\frac{21}{1})$

Étape 8.2.4.19.2.4

Divisez $21$ par $1$ .

$0 + 3 \cdot 21$

Étape 8.2.4.20

Multipliez $3$ par $21$ .

$0 + 63$

Étape 8.2.4.21

Additionnez $0$ et $63$ .

$63$

Étape 9