Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{4} x^{2} + \sqrt{x} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}$ et $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ sur $4$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $64$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.6

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 8 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.7

Associez $\frac{2}{3}$ et $8$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2 \cdot 8}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.8

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{64}{3} + \frac{16}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{64 + 16}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.10

Additionnez $64$ et $16$ .

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.12

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2.13

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1)$

Étape 5.2.2.14

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3})$

Étape 5.2.2.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{80}{3} - \frac{1 + 2}{3}$

Étape 5.2.2.16

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{80}{3} - \frac{3}{3}$

Étape 5.2.2.17

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.17.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{80}{3} - \frac{3}{3}$

Étape 5.2.2.17.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{80}{3} - 1 \cdot 1$

Étape 5.2.2.18

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{80}{3} - 1$

Étape 5.2.2.19

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{80}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.2.2.20

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{80}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Étape 5.2.2.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{80 - 1 \cdot 3}{3}$

Étape 5.2.2.22

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.22.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{80 - 3}{3}$

Étape 5.2.2.22.2

Soustrayez $3$ de $80$ .

$\frac{77}{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{77}{3}$

Forme décimale :

$25.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$25 \frac{2}{3}$

Étape 7