Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{4} 6 x \ln (x) d x$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int_{2}^{4} x \ln (x) d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x$ .

$6 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$6 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Étape 3.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{x^{2}}{2}$ par $\frac{1}{x}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Étape 3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Étape 3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Étape 3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x}{2} d x)$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{2}^{4} x d x))$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4})$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

Étape 6.1.2

Associez $\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}$ et $\frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

Étape 6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Évaluez $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $2$ .

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

Étape 6.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $2$ .

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Étape 6.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$6 (\frac{\ln (4) \cdot 16}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Étape 6.2.3.2

Déplacez $16$ à gauche de $\ln (4)$ .

$6 (\frac{16 \cdot \ln (4)}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Étape 6.2.3.3

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 6.2.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $16 \ln (4)$ .

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Étape 6.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 (1)} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Étape 6.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 \cdot 1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Étape 6.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 (\frac{8 \ln (4)}{1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Étape 6.2.3.3.2.4

Divisez $8 \ln (4)$ par $1$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Étape 6.2.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 4}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Étape 6.2.3.5

Déplacez $4$ à gauche de $\ln (2)$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{4 \cdot \ln (2)}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Étape 6.2.3.6

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 6.2.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \ln (2)$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Étape 6.2.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 (1)} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Étape 6.2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 \cdot 1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Étape 6.2.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 \ln (2)}{1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Étape 6.2.3.6.2.4

Divisez $2 \ln (2)$ par $1$ .

$6 (8 \ln (4) - (2 \ln (2)) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Étape 6.2.3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Étape 6.2.3.8

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Étape 6.2.3.9

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 6.2.3.9.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Étape 6.2.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Étape 6.2.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Étape 6.2.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Étape 6.2.3.9.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Étape 6.2.3.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{4}{2}}{2})$

Étape 6.2.3.11

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 6.2.3.11.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2}}{2})$

Étape 6.2.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}{2})$

Étape 6.2.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}{2})$

Étape 6.2.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2}{1}}{2})$

Étape 6.2.3.11.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 1 \cdot 2}{2})$

Étape 6.2.3.12

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 2}{2})$

Étape 6.2.3.13

Soustrayez $2$ de $8$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{6}{2})$

Étape 6.2.3.14

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 6.2.3.14.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2})$

Étape 6.2.3.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.14.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 (1)})$

Étape 6.2.3.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1})$

Étape 6.2.3.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{3}{1})$

Étape 6.2.3.14.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 1 \cdot 3)$

Étape 6.2.3.15

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 3)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 (8 \ln (4)) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Réécrivez $\ln (4)$ comme $\ln (2^{2})$ .

$6 (8 \ln (2^{2})) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Étape 7.2.2

Développez $\ln (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$6 (8 (2 \ln (2))) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Étape 7.2.3

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) + 6 \cdot - 3$

Étape 7.2.4

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) - 18$

Étape 7.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$6 (16 \ln (2)) - 12 \ln (2) - 18$

Étape 7.3.2

Multipliez $16$ par $6$ .

$96 \ln (2) - 12 \ln (2) - 18$

Étape 7.4

Soustrayez $12 \ln (2)$ de $96 \ln (2)$ .

$84 \ln (2) - 18$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$84 \ln (2) - 18$

Forme décimale :

$40.22436316 \dots$