Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{e} \ln^{2} (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln^{2} (x)$ et $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Associez $x$ et $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Étape 2.2.2

Divisez $\ln (x^{2})$ par $1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \ln (x^{2}) d x$

Étape 3

Réécrivez $\ln (x^{2})$ comme $2 \ln (x)$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 2 \ln (x) d x$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - (2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x)$

Étape 5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x$

Étape 6

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x)$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x)$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Évaluez $\ln^{2} (x) x$ sur $e$ et sur $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

Étape 9.2

Évaluez $\ln (x) x$ sur $e$ et sur $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e}))$

Étape 9.3

Évaluez $x$ sur $e$ et sur $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

Étape 9.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln^{2} (e) e - \ln^{2} (1) - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

Étape 9.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln^{2} (e) e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Étape 10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$1^{2} e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Étape 10.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Étape 10.1.3

Multipliez $e$ par $1$ .

$e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Étape 10.1.4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$e - 0^{2} - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Étape 10.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e - 0 - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Étape 10.1.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e + 0 - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Étape 10.1.7

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.7.1

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$e + 0 - 2 (1 e - \ln (1) - (e - 1))$

Étape 10.1.7.2

Multipliez $e$ par $1$ .

$e + 0 - 2 (e - \ln (1) - (e - 1))$

Étape 10.1.7.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$e + 0 - 2 (e - 0 - (e - 1))$

Étape 10.1.7.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e + 0 - 2 (e + 0 - (e - 1))$

Étape 10.1.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$e + 0 - 2 (e + 0 - e - - 1)$

Étape 10.1.7.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e + 0 - 2 (e + 0 - e + 1)$

Étape 10.1.8

Additionnez $e$ et $0$ .

$e + 0 - 2 (e - e + 1)$

Étape 10.1.9

Soustrayez $e$ de $e$ .

$e + 0 - 2 (0 + 1)$

Étape 10.1.10

Additionnez $0$ et $1$ .

$e + 0 - 2 \cdot 1$

Étape 10.1.11

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$e + 0 - 2$

Étape 10.2

Additionnez $e$ et $0$ .

$e - 2$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e - 2$

Forme décimale :

$0.71828182 \dots$