Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 2} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x^{- 2}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{x})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $\ln (x)$ et $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x \cdot x} d x$

Étape 3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x} d x$

Étape 3.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Étape 3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Étape 3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5.1.2

Multipliez $\int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$ par $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.2.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 5.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{- 2} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + - x^{- 1}]_{1}^{e}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e}$ et $- x^{- 1}]_{1}^{e}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}]_{1}^{e}$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}$ sur $e$ et sur $1$ .

$(- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1}) - (- \frac{\ln (1)}{1} - 1^{- 1})$

Étape 7.2.2

Simplifiez

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Étape 7.2.2.1

Divisez $\ln (1)$ par $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1^{- 1})$

Étape 7.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1 \cdot 1)$

Étape 7.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1)$

Étape 7.2.2.4

Pour écrire $- (- \ln (1) - 1)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} - (- \ln (1) - 1) \cdot \frac{e}{e}$

Étape 7.2.2.5

Associez $- (- \ln (1) - 1)$ et $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} + \frac{- (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Étape 7.2.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- e^{- 1} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Étape 7.2.2.7

Pour écrire $- e^{- 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} \cdot \frac{e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Étape 7.2.2.8

Associez $- e^{- 1}$ et $\frac{e}{e}$ .

$\frac{- e^{- 1} e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Étape 7.2.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- e^{- 1} e - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Étape 7.2.2.10

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\frac{- (e^{1} e^{- 1}) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Étape 7.2.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- e^{1 - 1} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Étape 7.2.2.12

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{- e^{0} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Étape 7.2.2.13

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Étape 7.2.2.14

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Étape 7.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (e)$ .

$\frac{- 1 (1) - (\ln (e)) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Étape 7.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (\ln (e))$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (e)) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Étape 7.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- \ln (1) - 1) e$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (e)) - ((- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Étape 7.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1 + \ln (e)) - ((- \ln (1) - 1) e)$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (e) + (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Étape 7.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1 + \ln (e) + (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) + (- 0 - 1) e}{e}$

Étape 7.4.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) + (0 - 1) e}{e}$

Étape 7.4.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) - 1 e}{e}$

Étape 7.4.4

Réécrivez $- 1 e$ comme $- e$ .

$- \frac{1 + \ln (e) - e}{e}$

Étape 7.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.5.1

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- \frac{1 + 1 - e}{e}$

Étape 7.4.5.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{2 - e}{e}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{2 - e}{e}$

Forme décimale :

$0.26424111 \dots$