Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{12}^{13} x \sqrt{x^{2} - 144} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} - 144$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} - 144$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} - 144$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 144]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 144$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 144]$

Étape 1.1.4

Comme $- 144$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 144$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2} - 144$ .

$u_{lower} = 12^{2} - 144$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$u_{lower} = 144 - 144$

Étape 1.3.2

Soustrayez $144$ de $144$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2} - 144$ .

$u_{upper} = 13^{2} - 144$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 169 - 144$

Étape 1.5.2

Soustrayez $144$ de $169$ .

$u_{upper} = 25$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 25$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{25} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{25} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{25}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $25$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.4

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.5

Associez $\frac{2}{3}$ et $125$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.6

Multipliez $2$ par $125$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.7

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.8

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 6.2.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 6.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 6.2.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Étape 6.2.11

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

Étape 6.2.12

Multipliez $0$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} + 0)$

Étape 6.2.13

Additionnez $\frac{250}{3}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{250}{3}$

Étape 6.2.14

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{250}{3}$ .

$\frac{250}{2 \cdot 3}$

Étape 6.2.15

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{250}{6}$

Étape 6.2.16

Annulez le facteur commun à $250$ et $6$ .

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Étape 6.2.16.1

Factorisez $2$ à partir de $250$ .

$\frac{2 (125)}{6}$

Étape 6.2.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.16.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 3}$

Étape 6.2.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 3}$

Étape 6.2.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{125}{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{125}{3}$

Forme décimale :

$41.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$41 \frac{2}{3}$

Étape 8