Calcul infinitésimal Exemples

Évaluer l'intégrale intégrale de cos(x)^6 par rapport à x
Étape 1
Simplifiez en factorisant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2
Réécrivez comme une élévation à une puissance.
Étape 2
Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire en .
Étape 3
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1
Laissez . Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 3.1.1
Différenciez .
Étape 3.1.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 3.1.4
Multipliez par .
Étape 3.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 4
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 5
Simplifiez en multipliant.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.1
Réécrivez comme un produit.
Étape 5.2
Développez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 5.2.1
Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.
Étape 5.2.2
Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.
Étape 5.2.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.6
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.7
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.8
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.9
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.10
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.11
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.12
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.13
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.14
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.15
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.16
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.17
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.18
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.19
Déplacez .
Étape 5.2.20
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.21
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.22
Déplacez .
Étape 5.2.23
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.24
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.25
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.26
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.27
Déplacez .
Étape 5.2.28
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.29
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.30
Déplacez .
Étape 5.2.31
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.32
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.33
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.34
Déplacez .
Étape 5.2.35
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.36
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.37
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.38
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.39
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.40
Déplacez .
Étape 5.2.41
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.42
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.43
Déplacez .
Étape 5.2.44
Déplacez .
Étape 5.2.45
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.46
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.47
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.48
Déplacez .
Étape 5.2.49
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.50
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.51
Déplacez .
Étape 5.2.52
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.53
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.54
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.55
Déplacez .
Étape 5.2.56
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.57
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.58
Déplacez les parenthèses.
Étape 5.2.59
Multipliez par .
Étape 5.2.60
Multipliez par .
Étape 5.2.61
Multipliez par .
Étape 5.2.62
Multipliez par .
Étape 5.2.63
Multipliez par .
Étape 5.2.64
Multipliez par .
Étape 5.2.65
Multipliez par .
Étape 5.2.66
Multipliez par .
Étape 5.2.67
Multipliez par .
Étape 5.2.68
Multipliez par .
Étape 5.2.69
Multipliez par .
Étape 5.2.70
Multipliez par .
Étape 5.2.71
Multipliez par .
Étape 5.2.72
Associez et .
Étape 5.2.73
Multipliez par .
Étape 5.2.74
Multipliez par .
Étape 5.2.75
Multipliez par .
Étape 5.2.76
Multipliez par .
Étape 5.2.77
Associez et .
Étape 5.2.78
Multipliez par .
Étape 5.2.79
Multipliez par .
Étape 5.2.80
Multipliez par .
Étape 5.2.81
Multipliez par .
Étape 5.2.82
Multipliez par .
Étape 5.2.83
Associez et .
Étape 5.2.84
Multipliez par .
Étape 5.2.85
Multipliez par .
Étape 5.2.86
Associez et .
Étape 5.2.87
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.88
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.89
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.2.90
Additionnez et .
Étape 5.2.91
Additionnez et .
Étape 5.2.92
Associez et .
Étape 5.2.93
Multipliez par .
Étape 5.2.94
Multipliez par .
Étape 5.2.95
Associez et .
Étape 5.2.96
Multipliez par .
Étape 5.2.97
Multipliez par .
Étape 5.2.98
Multipliez par .
Étape 5.2.99
Multipliez par .
Étape 5.2.100
Multipliez par .
Étape 5.2.101
Associez et .
Étape 5.2.102
Multipliez par .
Étape 5.2.103
Multipliez par .
Étape 5.2.104
Multipliez par .
Étape 5.2.105
Multipliez par .
Étape 5.2.106
Associez et .
Étape 5.2.107
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.108
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.109
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.2.110
Additionnez et .
Étape 5.2.111
Multipliez par .
Étape 5.2.112
Associez et .
Étape 5.2.113
Multipliez par .
Étape 5.2.114
Multipliez par .
Étape 5.2.115
Associez et .
Étape 5.2.116
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.117
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.118
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.2.119
Additionnez et .
Étape 5.2.120
Multipliez par .
Étape 5.2.121
Multipliez par .
Étape 5.2.122
Associez et .
Étape 5.2.123
Multipliez par .
Étape 5.2.124
Multipliez par .
Étape 5.2.125
Associez et .
Étape 5.2.126
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.127
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.128
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.2.129
Additionnez et .
Étape 5.2.130
Multipliez par .
Étape 5.2.131
Multipliez par .
Étape 5.2.132
Associez et .
Étape 5.2.133
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.134
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.2.135
Additionnez et .
Étape 5.2.136
Additionnez et .
Étape 5.2.137
Associez et .
Étape 5.2.138
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.139
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.140
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.141
Déplacez .
Étape 5.2.142
Déplacez .
Étape 5.2.143
Déplacez .
Étape 5.2.144
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.145
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.2.146
Additionnez et .
Étape 5.2.147
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.2.148
Additionnez et .
Étape 6
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 7
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 8
Factorisez .
Étape 9
Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire comme .
Étape 10
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1
Laissez . Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 10.1.1
Différenciez .
Étape 10.1.2
La dérivée de par rapport à est .
Étape 10.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 11
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 12
Appliquez la règle de la constante.
Étape 13
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 14
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 15
Associez et .
Étape 16
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 17
Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire en .
Étape 18
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 19
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 19.1
Multipliez par .
Étape 19.2
Multipliez par .
Étape 20
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 21
Appliquez la règle de la constante.
Étape 22
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 22.1
Laissez . Déterminez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 22.1.1
Différenciez .
Étape 22.1.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 22.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 22.1.4
Multipliez par .
Étape 22.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 23
Associez et .
Étape 24
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 25
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 26
Appliquez la règle de la constante.
Étape 27
Associez et .
Étape 28
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 29
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 30
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 30.1
Simplifiez
Étape 30.2
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 30.2.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 30.2.2
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 30.2.2.1
Multipliez par .
Étape 30.2.2.2
Multipliez par .
Étape 30.2.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 30.2.4
Déplacez à gauche de .
Étape 30.2.5
Additionnez et .
Étape 31
Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 31.1
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 31.2
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 31.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 31.4
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 32
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 32.1
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 32.2
Additionnez et .
Étape 32.3
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 32.3.1
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 32.3.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 32.3.1.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 32.3.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 32.3.1.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 32.3.1.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 32.3.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 32.3.3
Annulez le facteur commun à et .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 32.3.3.1
Factorisez à partir de .
Étape 32.3.3.2
Annulez les facteurs communs.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 32.3.3.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 32.3.3.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 32.3.3.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 32.3.4
Multipliez par .
Étape 32.4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 32.5
Simplifiez
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 32.5.1
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 32.5.1.1
Multipliez par .
Étape 32.5.1.2
Multipliez par .
Étape 32.5.2
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 32.5.2.1
Multipliez par .
Étape 32.5.2.2
Multipliez par .
Étape 32.5.3
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 32.5.3.1
Multipliez par .
Étape 32.5.3.2
Multipliez par .
Étape 32.5.4
Multipliez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 32.5.4.1
Multipliez par .
Étape 32.5.4.2
Multipliez par .
Étape 33
Remettez les termes dans l’ordre.