Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{2} \sin (π x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = \sin (π x)$ .

$x^{2} (- \frac{1}{π} \cos (π x)) - \int - \frac{1}{π} \cos (π x) (2 x) d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\cos (π x)$ et $\frac{1}{π}$ .

$x^{2} (- \frac{\cos (π x)}{π}) - \int - \frac{1}{π} \cos (π x) (2 x) d x$

Étape 2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{\cos (π x)}{π}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - \int - \frac{1}{π} \cos (π x) (2 x) d x$

Étape 3

Comme $- \frac{1}{π} \cdot 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{π} \cdot 2$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - (- \frac{1}{π} \cdot 2 \int \cos (π x) (x) d x)$

Étape 4

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Étape 4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - (- 2 \frac{1}{π} \int \cos (π x) (x) d x)$

Étape 4.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{π}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - (\frac{- 2}{π} \int \cos (π x) (x) d x)$

Étape 4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - (- \frac{2}{π} \int \cos (π x) (x) d x)$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + 1 (\frac{2}{π} \int \cos (π x) (x) d x)$

Étape 4.5

Multipliez $\frac{2}{π}$ par $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} \int \cos (π x) (x) d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \cos (π x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (x (\frac{1}{π} \sin (π x)) - \int \frac{1}{π} \sin (π x) d x)$

Étape 6

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{π}$ et $\sin (π x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (x \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{1}{π} \sin (π x) d x)$

Étape 6.2

Associez $x$ et $\frac{\sin (π x)}{π}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \int \frac{1}{π} \sin (π x) d x)$

Étape 6.3

Associez $\frac{1}{π}$ et $\sin (π x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \int \frac{\sin (π x)}{π} d x)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{π}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - (\frac{1}{π} \int \sin (π x) d x))$

Étape 8

Laissez $u = π x$ . Alors $d u = π d x$ , donc $\frac{1}{π} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = π x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Étape 8.1.2

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π} \int \sin (u) \frac{1}{π} d u)$

Étape 9

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{π}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π} \int \frac{\sin (u)}{π} d u)$

Étape 10

Comme $\frac{1}{π}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u))$

Étape 11

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Étape 11.1

Multipliez $\frac{1}{π}$ par $\frac{1}{π}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π π} \int \sin (u) d u)$

Étape 11.2

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{1} π} \int \sin (u) d u)$

Étape 11.3

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int \sin (u) d u)$

Étape 11.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{1 + 1}} \int \sin (u) d u)$

Étape 11.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{2}} \int \sin (u) d u)$

Étape 12

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u) + C))$

Étape 13

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Étape 13.1

Réécrivez $- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u) + C))$ comme $- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) + C$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) + C$

Étape 13.2

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Étape 13.2.1

Pour écrire $\frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{π}{π}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) \cdot \frac{π}{π} + C$

Étape 13.2.2

Associez $\frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})$ et $\frac{π}{π}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{\frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) π}{π} + C$

Étape 13.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) π}{π} + C$

Étape 13.2.4

Associez $π$ et $\frac{2}{π}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{π \cdot 2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})}{π} + C$

Étape 13.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2 \cdot π}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})}{π} + C$

Étape 13.2.6

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 13.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2 π}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})}{π} + C$

Étape 13.2.6.2

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + 2 (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})}{π} + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $π x$ .

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + 2 (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π^{2}})}{π} + C$

Étape 15

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Étape 15.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + 2 \frac{x \sin (π x)}{π} + 2 \frac{\cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Étape 15.1.2

Associez $2$ et $\frac{x \sin (π x)}{π}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2 (x \sin (π x))}{π} + 2 \frac{\cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Étape 15.1.3

Associez $2$ et $\frac{\cos (π x)}{π^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2 x \sin (π x)}{π} + \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Étape 15.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} \cos (π x)$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (π x)) + \frac{2 x \sin (π x)}{π} + \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Étape 15.3

Factorisez $- 1$ à partir de $\frac{2 x \sin (π x)}{π}$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (π x)) - \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Étape 15.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} \cos (π x)) - \frac{- 2 x \sin (π x)}{π}$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π}) + \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Étape 15.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π}) - \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Étape 15.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π}) - \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}}$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}})}{π} + C$

Étape 15.7

Réécrivez $- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}})$ comme $- 1 (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}})$ .

$\frac{- 1 (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}})}{π} + C$

Étape 15.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Étape 15.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} \cos (π x) - \frac{2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Étape 15.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} \cos (π x) - \frac{2 x \sin (π x)}{π} - \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Étape 15.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{π} (x^{2} \cos (π x) - \frac{2}{π} x \sin (π x) - \frac{2}{π^{2}} \cos (π x)) + C$