Calcul infinitésimal Exemples

$\int \tan^{2} (2 x) d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \tan^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $\tan^{2} (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\tan^{2} (u)}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \tan^{2} (u) d u$

Étape 4

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (u)$ comme $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u + \int \sec^{2} (u) d u)$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (- u + C + \int \sec^{2} (u) d u)$

Étape 7

Comme la dérivée de $\tan (u)$ est $\sec^{2} (u)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (u)$ est $\tan (u)$ .

$\frac{1}{2} (- u + C + \tan (u) + C)$

Étape 8

Simplifiez

$\frac{1}{2} (- u + \tan (u)) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- (2 x) + \tan (2 x)) + C$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 x + \tan (2 x)) + C$

Étape 10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Étape 10.3.3

Réécrivez l’expression.

$- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Étape 10.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\tan (2 x)$ .

$- x + \frac{\tan (2 x)}{2} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$