Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 3}^{0} - 12 x - x^{2} + x^{3} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 3}^{0} - 12 x d x + \int_{- 3}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Étape 2

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 12$ en dehors de l’intégrale.

$- 12 \int_{- 3}^{0} x d x + \int_{- 3}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{0}) + \int_{- 3}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0}) + \int_{- 3}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0}) - \int_{- 3}^{0} x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{0}) + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Étape 7

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{0}) + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{0}) + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $0$ et sur $- 3$ .

$- 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{0}) + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0}$

Étape 9.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $0$ et sur $- 3$ .

$- 12 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0}$

Étape 9.3

Évaluez $\frac{1}{4} x^{4}$ sur $0$ et sur $- 3$ .

$- 12 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4

Simplifiez

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Étape 9.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 12 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 9.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- 12 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 12 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 12 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 12 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- 12 (0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.3

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$- 12 (0 - \frac{9}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.4

Soustrayez $\frac{9}{2}$ de $0$ .

$- 12 (- \frac{9}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.5

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$12 (\frac{9}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.6

Associez $12$ et $\frac{9}{2}$ .

$\frac{12 \cdot 9}{2} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.7

Multipliez $12$ par $9$ .

$\frac{108}{2} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.8

Annulez le facteur commun à $108$ et $2$ .

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Étape 9.4.8.1

Factorisez $2$ à partir de $108$ .

$\frac{2 \cdot 54}{2} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 54}{2 (1)} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 1} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{54}{1} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.8.2.4

Divisez $54$ par $1$ .

$54 - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$54 - (\frac{0}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.10

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 9.4.10.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$54 - (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$54 - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$54 - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$54 - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.10.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$54 - (0 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.11

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$54 - (0 - \frac{- 27}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.12

Annulez le facteur commun à $- 27$ et $3$ .

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Étape 9.4.12.1

Factorisez $3$ à partir de $- 27$ .

$54 - (0 - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.12.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$54 - (0 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$54 - (0 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$54 - (0 - \frac{- 9}{1}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.12.2.4

Divisez $- 9$ par $1$ .

$54 - (0 - - 9) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.13

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$54 - (0 + 9) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.14

Additionnez $0$ et $9$ .

$54 - 1 \cdot 9 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.15

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$54 - 9 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.16

Soustrayez $9$ de $54$ .

$45 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.17

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$45 + \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.18

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$45 + 0 - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Étape 9.4.19

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$45 + 0 - \frac{1}{4} \cdot 81$

Étape 9.4.20

Multipliez $81$ par $- 1$ .

$45 + 0 - 81 (\frac{1}{4})$

Étape 9.4.21

Associez $- 81$ et $\frac{1}{4}$ .

$45 + 0 + \frac{- 81}{4}$

Étape 9.4.22

Placez le signe moins devant la fraction.

$45 + 0 - \frac{81}{4}$

Étape 9.4.23

Soustrayez $\frac{81}{4}$ de $0$ .

$45 - \frac{81}{4}$

Étape 9.4.24

Pour écrire $45$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$45 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4}$

Étape 9.4.25

Associez $45$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{45 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4}$

Étape 9.4.26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{45 \cdot 4 - 81}{4}$

Étape 9.4.27

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.27.1

Multipliez $45$ par $4$ .

$\frac{180 - 81}{4}$

Étape 9.4.27.2

Soustrayez $81$ de $180$ .

$\frac{99}{4}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{99}{4}$

Forme décimale :

$24.75$

Forme de nombre mixte :

$24 \frac{3}{4}$

Étape 11