Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{10} | x - 5 | d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale selon là où $x - 5$ est positif et négatif.

$\int_{0}^{5} - x + 5 d x + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{5} - x d x + \int_{0}^{5} 5 d x + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{0}^{5} x d x + \int_{0}^{5} 5 d x + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5 d x + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} 5 d x + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5 x]_{0}^{5} + \int_{5}^{10} x - 5 d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5 x]_{0}^{5} + \int_{5}^{10} x d x + \int_{5}^{10} - 5 d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5 x]_{0}^{5} + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{10} + \int_{5}^{10} - 5 d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5 x]_{0}^{5} + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{10} + - 5 x]_{5}^{10}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{10}$ et $- 5 x]_{5}^{10}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + 5 x]_{0}^{5} + \frac{1}{2} x^{2} - 5 x]_{5}^{10}$

Étape 10.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $5$ et sur $0$ .

$- ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 5 x]_{0}^{5} + \frac{1}{2} x^{2} - 5 x]_{5}^{10}$

Étape 10.2.2

Évaluez $5 x$ sur $5$ et sur $0$ .

$- (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + \frac{1}{2} x^{2} - 5 x]_{5}^{10}$

Étape 10.2.3

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2} - 5 x$ sur $10$ et sur $5$ .

$- (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4

Simplifiez

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Étape 10.2.4.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$- (\frac{25}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- (\frac{25}{2} - \frac{0}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 10.2.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- (\frac{25}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{25}{2} - \frac{0}{1}) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- (\frac{25}{2} - 0) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- (\frac{25}{2} + 0) + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.5

Additionnez $\frac{25}{2}$ et $0$ .

$- \frac{25}{2} + 5 \cdot 5 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.6

Multipliez $5$ par $5$ .

$- \frac{25}{2} + 25 - 5 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.7

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$- \frac{25}{2} + 25 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.8

Additionnez $25$ et $0$ .

$- \frac{25}{2} + 25 + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.9

Pour écrire $25$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{25}{2} + 25 \cdot \frac{2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.10

Associez $25$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 25 + 25 \cdot 2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.4.12.1

Multipliez $25$ par $2$ .

$\frac{- 25 + 50}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.12.2

Additionnez $- 25$ et $50$ .

$\frac{25}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 5 \cdot 10) - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.13

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$\frac{25}{2} + \frac{1}{2} \cdot 100 - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.14

Associez $\frac{1}{2}$ et $100$ .

$\frac{25}{2} + \frac{100}{2} - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.15

Annulez le facteur commun à $100$ et $2$ .

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Étape 10.2.4.15.1

Factorisez $2$ à partir de $100$ .

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot 50}{2} - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.15.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{25}{2} + \frac{50}{1} - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.15.2.4

Divisez $50$ par $1$ .

$\frac{25}{2} + 50 - 5 \cdot 10 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.16

Multipliez $- 5$ par $10$ .

$\frac{25}{2} + 50 - 50 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.17

Soustrayez $50$ de $50$ .

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.18

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 25 - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.19

Associez $\frac{1}{2}$ et $25$ .

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{25}{2} - 5 \cdot 5)$

Étape 10.2.4.20

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{25}{2} - 25)$

Étape 10.2.4.21

Pour écrire $- 25$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{25}{2} - 25 \cdot \frac{2}{2})$

Étape 10.2.4.22

Associez $- 25$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} + 0 - (\frac{25}{2} + \frac{- 25 \cdot 2}{2})$

Étape 10.2.4.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{25}{2} + 0 - \frac{25 - 25 \cdot 2}{2}$

Étape 10.2.4.24

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.4.24.1

Multipliez $- 25$ par $2$ .

$\frac{25}{2} + 0 - \frac{25 - 50}{2}$

Étape 10.2.4.24.2

Soustrayez $50$ de $25$ .

$\frac{25}{2} + 0 - \frac{- 25}{2}$

Étape 10.2.4.25

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{25}{2} + 0 - - \frac{25}{2}$

Étape 10.2.4.26

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{25}{2} + 0 + 1 (\frac{25}{2})$

Étape 10.2.4.27

Multipliez $\frac{25}{2}$ par $1$ .

$\frac{25}{2} + 0 + \frac{25}{2}$

Étape 10.2.4.28

Additionnez $0$ et $\frac{25}{2}$ .

$\frac{25}{2} + \frac{25}{2}$

Étape 10.2.4.29

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{25 + 25}{2}$

Étape 10.2.4.30

Additionnez $25$ et $25$ .

$\frac{50}{2}$

Étape 10.2.4.31

Annulez le facteur commun à $50$ et $2$ .

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Étape 10.2.4.31.1

Factorisez $2$ à partir de $50$ .

$\frac{2 \cdot 25}{2}$

Étape 10.2.4.31.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.31.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 25}{2 (1)}$

Étape 10.2.4.31.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 1}$

Étape 10.2.4.31.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{25}{1}$

Étape 10.2.4.31.2.4

Divisez $25$ par $1$ .

$25$

Étape 11