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Calcul infinitésimal Exemples
,
Étape 1
Étape 1.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Étape 1.2
est continu sur .
La fonction est continue.
La fonction est continue.
Étape 2
Étape 2.1
Déterminez la dérivée.
Étape 2.1.1
Déterminez la dérivée première.
Étape 2.1.1.1
Différenciez.
Étape 2.1.1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.1.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.1.1.2
Évaluez .
Étape 2.1.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.1.1.2.3
Multipliez par .
Étape 2.1.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 2.2
Déterminez si la dérivée est continue sur .
Étape 2.2.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Notation d’intervalle :
Notation de constructeur d’ensemble :
Étape 2.2.2
est continu sur .
La fonction est continue.
La fonction est continue.
Étape 2.3
La fonction est différentiable sur car la dérivée est continue sur .
La fonction est différentiable.
La fonction est différentiable.
Étape 3
Pour que la longueur de l’arc soit garantie, la fonction et sa dérivée doivent toutes deux être continues sur l’intervalle fermé .
La fonction et sa dérivée sont continues sur l’intervalle fermé .
Étape 4
Étape 4.1
Différenciez.
Étape 4.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.2
Évaluez .
Étape 4.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.2.3
Multipliez par .
Étape 5
Pour déterminer la longueur d’arc d’une fonction, utilisez la formule .
Étape 6
Étape 6.1
Complétez le carré.
Étape 6.1.1
Utilisez la forme pour déterminer les valeurs de , et .
Étape 6.1.2
Étudiez la forme du sommet d’une parabole.
Étape 6.1.3
Déterminez la valeur de en utilisant la formule .
Étape 6.1.3.1
Remplacez les valeurs de et dans la formule .
Étape 6.1.3.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 6.1.3.2.1
Annulez le facteur commun à et .
Étape 6.1.3.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 6.1.3.2.1.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 6.1.3.2.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 6.1.3.2.1.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 6.1.3.2.1.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 6.1.3.2.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 6.1.3.2.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.1.3.2.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 6.1.4
Déterminez la valeur de en utilisant la formule .
Étape 6.1.4.1
Remplacez les valeurs de , et dans la formule .
Étape 6.1.4.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 6.1.4.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 6.1.4.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.1.4.2.1.2
Multipliez par .
Étape 6.1.4.2.1.3
Divisez par .
Étape 6.1.4.2.1.4
Multipliez par .
Étape 6.1.4.2.2
Soustrayez de .
Étape 6.1.5
Remplacez les valeurs de , et dans la forme du sommet .
Étape 6.2
Laissez . Puis . Réécrivez avec et .
Étape 6.2.1
Laissez . Déterminez .
Étape 6.2.1.1
Différenciez .
Étape 6.2.1.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 6.2.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 6.2.1.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 6.2.1.5
Additionnez et .
Étape 6.2.2
Remplacez la limite inférieure pour dans .
Étape 6.2.3
Additionnez et .
Étape 6.2.4
Remplacez la limite supérieure pour dans .
Étape 6.2.5
Additionnez et .
Étape 6.2.6
Les valeurs déterminées pour et seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.
Étape 6.2.7
Réécrivez le problème en utilisant , et les nouvelles limites d’intégration.
Étape 6.3
Laissez , où . Puis . Depuis , est positif.
Étape 6.4
Simplifiez les termes.
Étape 6.4.1
Simplifiez .
Étape 6.4.1.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 6.4.1.1.1
Associez et .
Étape 6.4.1.1.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 6.4.1.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 6.4.1.1.4
Annulez le facteur commun de .
Étape 6.4.1.1.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.4.1.1.4.2
Réécrivez l’expression.
Étape 6.4.1.2
Appliquez l’identité pythagoricienne.
Étape 6.4.1.3
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 6.4.2
Simplifiez
Étape 6.4.2.1
Associez et .
Étape 6.4.2.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 6.4.2.2.1
Multipliez par .
Étape 6.4.2.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 6.4.2.2.1.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6.4.2.2.2
Additionnez et .
Étape 6.5
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 6.6
Appliquez la formule de réduction.
Étape 6.7
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 6.8
Simplifiez
Étape 6.8.1
Associez et .
Étape 6.8.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 6.8.3
Associez et .
Étape 6.8.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 6.8.5
Déplacez à gauche de .
Étape 6.8.6
Multipliez par .
Étape 6.8.7
Multipliez par .
Étape 6.9
Remplacez et simplifiez.
Étape 6.9.1
Évaluez sur et sur .
Étape 6.9.2
Évaluez sur et sur .
Étape 6.9.3
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 6.10
Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, .
Étape 6.11
Simplifiez
Étape 6.11.1
Simplifiez le numérateur.
Étape 6.11.1.1
Évaluez .
Étape 6.11.1.2
Évaluez .
Étape 6.11.2
Multipliez par .
Étape 6.11.3
Divisez par .
Étape 6.11.4
Multipliez par .
Étape 6.11.5
Simplifiez chaque terme.
Étape 6.11.5.1
Simplifiez le numérateur.
Étape 6.11.5.1.1
Évaluez .
Étape 6.11.5.1.2
Évaluez .
Étape 6.11.5.2
Multipliez par .
Étape 6.11.5.3
Divisez par .
Étape 6.11.6
Soustrayez de .
Étape 6.11.7
Multipliez par .
Étape 6.11.8
est d’environ qui est positif, alors retirez la valeur absolue
Étape 6.11.9
est d’environ qui est positif, alors retirez la valeur absolue
Étape 7
Le résultat peut être affiché en différentes formes.
Forme exacte :
Forme décimale :
Étape 8