Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x + 2$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 3 (x + h) + 2$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 3 x + 3 h + 2$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $3 x + 3 h + 2$ .

$3 x + 3 h + 2$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre $3 x$ et $3 h$ .

$3 h + 3 x + 2$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = 3 h + 3 x + 2$

$f (x) = 3 x + 2$

$f (x + h) = 3 h + 3 x + 2$

$f (x) = 3 x + 2$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h + 3 x + 2 - (3 x + 2)}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h + 3 x + 2 - (3 x) - 1 \cdot 2}{h}$

Étape 4.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h + 3 x + 2 - 3 x - 1 \cdot 2}{h}$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h + 3 x + 2 - 3 x - 2}{h}$

Étape 4.1.4

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h + 0 + 2 - 2}{h}$

Étape 4.1.5

Additionnez $3 h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h + 2 - 2}{h}$

Étape 4.1.6

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h + 0}{h}$

Étape 4.1.7

Additionnez $3 h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h}{h}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h}{h}$

Étape 4.2.2

Divisez $3$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3$

Étape 5

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$3$

Étape 6