Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) + 1}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $\frac{x + h}{x + h + 1}$ .

$\frac{x + h}{x + h + 1}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} - (\frac{x}{x + 1})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{x + h}{x + h + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{x}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + h + 1) (x + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{x + h}{x + h + 1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{x}{x + 1}$ par $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x + h + 1) (x + 1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\frac{(x + h) (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.1

Développez $(x + h) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x + 1) + h (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.3

Multipliez $h$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x \cdot x - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Simplifiez

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Étape 4.1.5.4.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.4.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - (x \cdot x) - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.5.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x^{2} - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.5.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x^{2} - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.5.5

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h x + h + 0 - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.5.6

Additionnez $x$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h x + h - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.5.7

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - x h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.5.8

Additionnez $h x + h - x h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - x h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.5.9

Soustrayez $x h$ de $h x$ .

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Étape 4.1.5.9.1

Remettez dans l’ordre $h$ et $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h + x h - x h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.5.9.2

Soustrayez $x h$ de $x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.1.5.10

Additionnez $h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Placez le terme $\frac{1}{x + 1}$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$\frac{1}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

Étape 5.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Étape 5.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Étape 5.5

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Étape 5.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

Étape 6

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ .

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x + 1)}$

Étape 7.2.2

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Étape 7.2.3

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Étape 7.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Étape 7.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 8