Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{4 - x}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 - x}$ comme ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 4 - x$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x)$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Étape 1.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Étape 1.1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Étape 1.1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Étape 1.1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Étape 1.1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Étape 1.1.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Étape 1.1.1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.1.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Étape 1.1.1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Étape 1.1.1.7.3

Placez ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Étape 1.1.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 1.1.1.9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 1.1.1.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$

Étape 1.1.1.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)$

Étape 1.1.1.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.1.13

Associez les fractions.

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Étape 1.1.1.13.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Étape 1.1.1.13.2

Associez $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.1.13.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.2.1.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1.2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Étape 1.1.2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.1.2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}$

Étape 1.1.2.1.2.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}}$

Étape 1.1.2.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ et $g (x) = 4 - x$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x))$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Étape 1.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Étape 1.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Étape 1.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Étape 1.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Étape 1.1.2.6.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Étape 1.1.2.7

Associez les fractions.

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Étape 1.1.2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Étape 1.1.2.7.2

Associez ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{{(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

Étape 1.1.2.7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.7.3.1

Placez ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

Étape 1.1.2.7.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

Étape 1.1.2.7.3.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

Étape 1.1.2.7.4

Multipliez $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Étape 1.1.2.7.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Étape 1.1.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 1.1.2.9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 1.1.2.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$

Étape 1.1.2.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)$

Étape 1.1.2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.2.13

Associez les fractions.

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Étape 1.1.2.13.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot - 1$

Étape 1.1.2.13.2

Associez $\frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ et $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.1.2.13.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = \sqrt{4 - x}$ .

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Étape 2.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{4 - x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$4 - x \geq 0$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq - 4$

Étape 2.2.2

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 4$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Étape 2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x \leq 4$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 4]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq 4}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 4]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq 4}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 4]$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 4]$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - \frac{1}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1.1

Soustrayez $0$ de $4$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 4.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 4.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{3}}$

Étape 4.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 8}$

Étape 4.2.2

Multipliez $4$ par $8$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{32}$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{32}$ .

$- \frac{1}{32}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, 4]$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 4]$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5