Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 9}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.2

Multipliez $x^{2} - 9$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.5

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.1.7

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 9) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 9) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 9) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.2.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.2.6

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.2.7

Additionnez $- 2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (- 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.4

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (2 x))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) (2 \cdot ((x^{2} - 9) x))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4.5.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) ((x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} - 9)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.2

Réécrivez ${(x^{2} - 9)}^{2}$ comme $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} - 9) (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.3

Développez $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} - 9) - 9 (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.3.1.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.4.1.2

Déplacez $- 9$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 9 \cdot x^{2} - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.4.1.3

Multipliez $- 9$ par $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 9 x^{2} - 9 x^{2} + 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.4.2

Soustrayez $9 x^{2}$ de $- 9 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 18 x^{2} + 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (- 18 x^{2}) - 2 \cdot 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.3.1.6.1

Multipliez $- 18$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} + 36 x^{2} - 2 \cdot 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.6.2

Multipliez $- 2$ par $81$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} + 36 x^{2} - 162) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.3.1.8.1

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.3.1.8.1.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.3.1.8.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 (x \cdot x^{2}) - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 (x \cdot x^{2}) - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{1 + 2} - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.8.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.9

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.3.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.9.2

Multipliez $- 4$ par $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.10

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.3.1.10.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.3.1.10.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.10.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{2 + 1} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.10.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.11

Développez $(4 x^{2} + 36) (x^{3} - 9 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.3.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} (x^{3} - 9 x) + 36 (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 x^{2} x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.3.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 (x \cdot x^{2})) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 (x \cdot x^{2})) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 x^{1 + 2}) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 x^{3}) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.4

Multipliez $4$ par $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} - 36 x^{3} + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.1.5

Multipliez $- 9$ par $36$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} - 36 x^{3} + 36 x^{3} - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.2

Additionnez $- 36 x^{3}$ et $36 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 0 - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.1.12.3

Additionnez $4 x^{5}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.2

Additionnez $- 2 x^{5}$ et $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.3.3

Soustrayez $324 x$ de $- 162 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} + 36 x^{3} - 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.4.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{5} + 36 x^{3} - 486 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.4.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 36 x^{3} - 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $36 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (18 x^{2}) - 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $- 486 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (18 x^{2}) + 2 x (- 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.1.4

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{4}) + 2 x (18 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} + 18 x^{2}) + 2 x (- 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.1.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{4} + 18 x^{2}) + 2 x (- 243)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} + 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} + 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} + 18 u - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.4

Factorisez $u^{2} + 18 u - 243$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.4.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 243$ et dont la somme est $18$ .

$- 9, 27$

Étape 1.1.2.5.4.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 9) (u + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((x^{2} - 9) (x^{2} + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.4.7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.5

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.5.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 3^{2})}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{((x + 3) (x - 3))}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.5.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.6

Annulez le facteur commun à $x + 3$ et ${(x + 3)}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.6.1

Factorisez $x + 3$ à partir de $2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((2 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.6.2.1

Factorisez $x + 3$ à partir de ${(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((2 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Étape 1.1.2.5.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((2 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Étape 1.1.2.5.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{(2 x (x - 3)) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.7

Annulez le facteur commun à $x - 3$ et ${(x - 3)}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.7.1

Factorisez $x - 3$ à partir de $(2 x (x - 3)) (x^{2} + 27)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((2 x) (x^{2} + 27))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.7.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.7.2.1

Factorisez $x - 3$ à partir de ${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((2 x) (x^{2} + 27))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Étape 1.1.2.5.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((2 x) (x^{2} + 27))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Étape 1.1.2.5.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{(2 x) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x (x^{2} + 27) = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 27 = 0$

Étape 1.2.3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.3.3

Définissez $x^{2} + 27$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.3.1

Définissez $x^{2} + 27$ égal à $0$ .

$x^{2} + 27 = 0$

Étape 1.2.3.3.2

Résolvez $x^{2} + 27 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.3.2.1

Soustrayez $27$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 27$

Étape 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 27}$

Étape 1.2.3.3.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 27}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.3.2.3.1

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (27)}$

Étape 1.2.3.3.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$

Étape 1.2.3.3.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{27}$

Étape 1.2.3.3.2.3.4

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.3.2.3.4.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}$

Étape 1.2.3.3.2.3.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Étape 1.2.3.3.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \cdot (3 \sqrt{3})$

Étape 1.2.3.3.2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 3 i \sqrt{3}$

Étape 1.2.3.3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 i \sqrt{3}$

Étape 1.2.3.3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 i \sqrt{3}$

Étape 1.2.3.3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 i \sqrt{3}, - 3 i \sqrt{3}$

Étape 1.2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (x^{2} + 27) = 0$ vraie.

$x = 0, 3 i \sqrt{3}, - 3 i \sqrt{3}$

Étape 2

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{x}{x^{2} - 9}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{x^{2} - 9}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 9 = 0$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 9$

Étape 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 2.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 2.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 2.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 2.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 2.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 3, - 3}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 3, - 3}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f'' (- 6) = \frac{2 (- 6) ({(- 6)}^{2} + 27)}{{((- 6) + 3)}^{3} {((- 6) - 3)}^{3}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 ({(- 6)}^{2} + 27)}{{(- 6 + 3)}^{3} {(- 6 - 3)}^{3}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Additionnez $- 6$ et $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 ({(- 6)}^{2} + 27)}{{(- 3)}^{3} {(- 6 - 3)}^{3}}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $3$ de $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 ({(- 6)}^{2} + 27)}{{(- 3)}^{3} {(- 9)}^{3}}$

Étape 4.2.2.3

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 ({(- 6)}^{2} + 27)}{- 27 {(- 9)}^{3}}$

Étape 4.2.2.4

Élevez $- 9$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 ({(- 6)}^{2} + 27)}{- 27 \cdot - 729}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 (36 + 27)}{- 27 \cdot - 729}$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $36$ et $27$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 \cdot 63}{- 27 \cdot - 729}$

Étape 4.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Multipliez $- 27$ par $- 729$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 \cdot 63}{19683}$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $- 12$ par $63$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 756}{19683}$

Étape 4.2.4.3

Annulez le facteur commun à $- 756$ et $19683$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.3.1

Factorisez $27$ à partir de $- 756$ .

$f'' (- 6) = \frac{27 (- 28)}{19683}$

Étape 4.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.3.2.1

Factorisez $27$ à partir de $19683$ .

$f'' (- 6) = \frac{27 \cdot - 28}{27 \cdot 729}$

Étape 4.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- 6) = \frac{27 \cdot - 28}{27 \cdot 729}$

Étape 4.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- 6) = \frac{- 28}{729}$

Étape 4.2.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 6) = - \frac{28}{729}$

Étape 4.2.5

La réponse finale est $- \frac{28}{729}$ .

$- \frac{28}{729}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - 3)$ car $f'' (- 6)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 3, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} + 27)}{{((- 2) + 3)}^{3} {((- 2) - 3)}^{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{{(- 2 + 3)}^{3} {(- 2 - 3)}^{3}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1^{3} {(- 2 - 3)}^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1^{3} {(- 5)}^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1 {(- 5)}^{3}}$

Étape 5.2.2.4

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1 \cdot - 125}$

Étape 5.2.2.5

Multipliez $- 125$ par $1$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{- 125}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 (4 + 27)}{- 125}$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $4$ et $27$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 31}{- 125}$

Étape 5.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Multipliez $- 4$ par $31$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 124}{- 125}$

Étape 5.2.4.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$f'' (- 2) = \frac{124}{125}$

Étape 5.2.5

La réponse finale est $\frac{124}{125}$ .

$\frac{124}{125}$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- 3, 0)$ car $f'' (- 2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- 3, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, 3)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = \frac{2 (2) ({(2)}^{2} + 27)}{{((2) + 3)}^{3} {((2) - 3)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} + 27)}{{(2 + 3)}^{3} {(2 - 3)}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Additionnez $2$ et $3$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} + 27)}{5^{3} {(2 - 3)}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} + 27)}{5^{3} {(- 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} + 27)}{125 {(- 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} + 27)}{125 \cdot - 1}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (4 + 27)}{125 \cdot - 1}$

Étape 6.2.3.2

Additionnez $4$ et $27$ .

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 31}{125 \cdot - 1}$

Étape 6.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

Multipliez $125$ par $- 1$ .

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 31}{- 125}$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $4$ par $31$ .

$f'' (2) = \frac{124}{- 125}$

Étape 6.2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (2) = - \frac{124}{125}$

Étape 6.2.5

La réponse finale est $- \frac{124}{125}$ .

$- \frac{124}{125}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(0, 3)$ car $f'' (2)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(0, 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f'' (6) = \frac{2 (6) ({(6)}^{2} + 27)}{{((6) + 3)}^{3} {((6) - 3)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$f'' (6) = \frac{12 (6^{2} + 27)}{{(6 + 3)}^{3} {(6 - 3)}^{3}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Additionnez $6$ et $3$ .

$f'' (6) = \frac{12 (6^{2} + 27)}{9^{3} {(6 - 3)}^{3}}$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $3$ de $6$ .

$f'' (6) = \frac{12 (6^{2} + 27)}{9^{3} \cdot 3^{3}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$f'' (6) = \frac{12 (6^{2} + 27)}{729 \cdot 3^{3}}$

Étape 7.2.2.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f'' (6) = \frac{12 (6^{2} + 27)}{729 \cdot 27}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f'' (6) = \frac{12 (36 + 27)}{729 \cdot 27}$

Étape 7.2.3.2

Additionnez $36$ et $27$ .

$f'' (6) = \frac{12 \cdot 63}{729 \cdot 27}$

Étape 7.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.1

Multipliez $729$ par $27$ .

$f'' (6) = \frac{12 \cdot 63}{19683}$

Étape 7.2.4.2

Multipliez $12$ par $63$ .

$f'' (6) = \frac{756}{19683}$

Étape 7.2.4.3

Annulez le facteur commun à $756$ et $19683$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.3.1

Factorisez $27$ à partir de $756$ .

$f'' (6) = \frac{27 (28)}{19683}$

Étape 7.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.3.2.1

Factorisez $27$ à partir de $19683$ .

$f'' (6) = \frac{27 \cdot 28}{27 \cdot 729}$

Étape 7.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (6) = \frac{27 \cdot 28}{27 \cdot 729}$

Étape 7.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (6) = \frac{28}{729}$

Étape 7.2.5

La réponse finale est $\frac{28}{729}$ .

$\frac{28}{729}$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(3, \infty)$ car $f'' (6)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(3, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- 3, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(0, 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(3, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 9