Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x {(x - 2)}^{3}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x {(x - 2)}^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - 2)}^{3})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 2$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.1.4

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.1.4.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.1.4.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.1.4.4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \cdot 1)$

Étape 1.1.1.4.6

Multipliez ${(x - 2)}^{3}$ par $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3})$

Étape 1.1.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Étape 1.1.1.5.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f' (x) = 9 (x ({(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Étape 1.1.1.5.3

Factorisez $3 {(x - 2)}^{2}$ à partir de $9 x {(x - 2)}^{2} + 3 {(x - 2)}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.5.3.1

Factorisez $3 {(x - 2)}^{2}$ à partir de $9 x {(x - 2)}^{2}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Étape 1.1.1.5.3.2

Factorisez $3 {(x - 2)}^{2}$ à partir de $3 {(x - 2)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Étape 1.1.1.5.3.3

Factorisez $3 {(x - 2)}^{2}$ à partir de $3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x + x - 2)$

Étape 1.1.1.5.4

Additionnez $3 x$ et $x$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (4 x - 2)$

Étape 1.1.1.5.5

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = 3 ((x - 2) (x - 2)) (4 x - 2)$

Étape 1.1.1.5.6

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Étape 1.1.1.5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Étape 1.1.1.5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Étape 1.1.1.5.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.5.7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.5.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Étape 1.1.1.5.7.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Étape 1.1.1.5.7.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (4 x - 2)$

Étape 1.1.1.5.7.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$

Étape 1.1.1.5.8

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = (3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

Étape 1.1.1.5.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.5.9.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

Étape 1.1.1.5.9.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$

Étape 1.1.1.5.10

Développez $(3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f' (x) = 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Étape 1.1.1.5.11

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.5.11.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Étape 1.1.1.5.11.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.5.11.2.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Étape 1.1.1.5.11.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.5.11.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Étape 1.1.1.5.11.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Étape 1.1.1.5.11.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Étape 1.1.1.5.11.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Étape 1.1.1.5.11.4

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Étape 1.1.1.5.11.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x \cdot x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Étape 1.1.1.5.11.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.5.11.6.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 (x \cdot x)) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Étape 1.1.1.5.11.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x^{2}) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Étape 1.1.1.5.11.7

Multipliez $- 12$ par $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Étape 1.1.1.5.11.8

Multipliez $- 2$ par $- 12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Étape 1.1.1.5.11.9

Multipliez $4$ par $12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x + 12 \cdot - 2$

Étape 1.1.1.5.11.10

Multipliez $12$ par $- 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

Étape 1.1.1.5.12

Soustrayez $48 x^{2}$ de $- 6 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

Étape 1.1.1.5.13

Additionnez $24 x$ et $48 x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $3$ par $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 54 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

Comme $- 54$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 54 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 54 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 (2 x) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 54$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 1.1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [72 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.1

Comme $72$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $72 x$ par rapport à $x$ est $72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 1.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 1.1.2.4.3

Multipliez $72$ par $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Étape 1.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + 0$

Étape 1.1.2.5.2

Additionnez $36 x^{2} - 108 x + 72$ et $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $36 x^{2} - 108 x + 72$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Factorisez $36$ à partir de $36 x^{2} - 108 x + 72$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $36$ à partir de $36 x^{2}$ .

$36 (x^{2}) - 108 x + 72 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $36$ à partir de $- 108 x$ .

$36 (x^{2}) + 36 (- 3 x) + 72 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $36$ à partir de $72$ .

$36 x^{2} + 36 (- 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $36$ à partir de $36 x^{2} + 36 (- 3 x)$ .

$36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $36$ à partir de $36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2$ .

$36 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 1.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$36 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$36 (x - 2) (x - 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $36 (x - 2) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 2, 1$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 1)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 108 \cdot 0 + 72$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 108 \cdot 0 + 72$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $36$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 108 \cdot 0 + 72$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 108$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 72$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (0) = 0 + 72$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $0$ et $72$ .

$f'' (0) = 72$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $72$ .

$72$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, 1)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(1, 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $1.5$ dans l’expression.

$f'' (1.5) = 36 {(1.5)}^{2} - 108 \cdot 1.5 + 72$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Élevez $1.5$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.5) = 36 \cdot 2.25 - 108 \cdot 1.5 + 72$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $36$ par $2.25$ .

$f'' (1.5) = 81 - 108 \cdot 1.5 + 72$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 108$ par $1.5$ .

$f'' (1.5) = 81 - 162 + 72$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Soustrayez $162$ de $81$ .

$f'' (1.5) = - 81 + 72$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 81$ et $72$ .

$f'' (1.5) = - 9$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 9$ .

$- 9$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(1, 2)$ car $f'' (1.5)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(1, 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 108 \cdot 4 + 72$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 108 \cdot 4 + 72$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $36$ par $16$ .

$f'' (4) = 576 - 108 \cdot 4 + 72$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 108$ par $4$ .

$f'' (4) = 576 - 432 + 72$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Soustrayez $432$ de $576$ .

$f'' (4) = 144 + 72$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $144$ et $72$ .

$f'' (4) = 216$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $216$ .

$216$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(2, \infty)$ car $f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(2, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 1)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(1, 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(2, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8